Индикатор равномерности распределения точек в пространстве

[VitDer]

Добрый вечер, уважаемые участники форума!

Помогите, пожалуйста, с одним вопросом, кто знает.

Имеется область $n$ - мерного пространства. В эту область периодически (не важно как) попадает набор из $N$ точек. При этом данный набор может меняться, но число точек в наборе $N$ остаётся неизменным. Собственно вопрос: существует ли какой-то индекс равномерности распределения данных точек в пространстве (желательно простой, без вероятностных моделей)? Ведь в одном случае точки могут почти совпадать между собой, а в другом отстоять друг от друга на значительном расстоянии. То есть нужен индекс "кучности" точек (по аналогии с кучностью стрельбы дробью).

Мне пока пришло только в голову сумма всех попарных расстояний, но насколько обоснован такой критерий - остаётся загадкой

Заранее спасибо!

[arseniiv]

При исследовании качества квазислучайного семплирования, где как раз важно, чтобы точки равноотстояли получше, но не были регулярно распределены, по крайней мере для визуализации строят диаграмму Вороного и (для визуализации) красят ячейки на этой диаграмме разными цветами в зависимости от их площади. Вам будет полезно просто сосчитать среднеквадратичное отклонение набора этих площадей (только надо будет нормировать его, поделив на диаметр области или что-то аналогичное).

Это может казаться слишком сложным мероприятием, но плюс в том, что построение диаграммы Вороного достаточно широкоизвестный алгоритм, можно найти готовый код или библиотеку и приспособить к своим нуждам. Ячейки всегда выпуклые многоугольники, потому площади должно быть не сильно сложно находить. У этого способа довольно хорошая осмысленность, но можно попробовать взять вместо площадей диаметры ячеек или там квадратные корни из площадей.

Можно взять и триангуляцию Делоне (двойственную диаграмме Вороного, так что где одна, там недалеко и другая) и взять длины всех отрезков, составляющих её, и опять искать среднеквадратичное отклонение. Это во всяком случае лучше чем брать все расстояния — возьмутся только расстояния до соседей. Или брать площади треугольников.

В принципе если получше определить то, как именно потом используется эта «мера равномерности точек» и что от неё требуется, то можно будет выбрать один из вариантов и отбросить остальные как дающие величину не с неподходящими свойствами.

[VitDer]

Спасибо за ответ!
Нужно идти через Вороного/Делоне.
У меня такая задача возникает при подготовке данных (образцов) для обучения
нейронной сети. Данных очень много, часть из них нужно убрать, т.к. долго учить и оперативной памяти не хватает. Так вот убрать можно по-разному. И хотелось бы оставить такой вариант сокращённых данных, который бы соответствовал наибольшей равномерности распределения их по пространству. А когда данные все около одной точки - это, очевидно, плохо в данной задаче. Здесь, в принципе, равномерность - это репрезентативность обучающей выборки.