Дифференциальная геометрия кривых (задачи)

[misha.physics]

Здравствуйте. Проверяю прочитанный материал 1-й главы диф. геометрии Позняка и Шикина на задачах в конце этой главы. Маленький (сначала казалось) вопрос по первой же задаче. Я немного переформулирую условие в более удобной для меня форме.

Дано астроиду $\mathbf{r}=\mathbf{i}a\cos^3t+\mathbf{j}a\sin^3t$, $t\in[0,2\pi)$. Составить уравнение касательной и нормали.

Решаю. $\mathbf{r}'=-\mathbf{i}3a\cos^2t\sin t+\mathbf{j}3a\sin^2t\cos t$. В вершинах астроиды (при $t=0,\pi/2,\pi,3\pi/2$) имеем $\mathbf{r}'=0$, в этих точках астроида не гладкая. Радиус-вектор $\mathbf{R}=(X,Y)$ любой точки касательной: $\mathbf{R}=\mathbf{r}+\lambda\boldsymbol{\tau}$, где $\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}'/|\mathbf{r}'|$ - касательный вектор, $\lambda\in(-\infty,\infty)$. Тогда для любой точки астроиды кроме её вершин получаю уравнение касательной $2X\sin t+2Y\cos t-a\sin 2t=0$. В книге написан тот же ответ, но без замечания, что это для точек кроме вершин, и действительно, подставив в это уравнение значения $t$, отвечающие вершинам, получаем две касательные - ось абсцисс и ось ординат, что визуально правильно. Но в вершинах астроиды $\mathbf{r}'=0$, значит и $\boldsymbol{\tau}=0$, то есть $\mathbf{R}=\mathbf{r}$, и мы получаем одну точку - саму вершину. Напишем $\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}'/|\mathbf{r}'|$, $\tau_x=x'/|\mathbf{r}'|$, $\tau_y=y'/|\mathbf{r}'|$, $\tau_x=\displaystyle\frac{-3a\cos^2t\sin t}{\sqrt{9a^2\cos^2t\sin^2t}}$, $\tau_y=\displaystyle\frac{3a\sin^2t\cos t}{\sqrt{9a^2\cos^2t\sin^2t}}$, тогда для любого $t$, не отвечающего вершинам астроиды: $\tau_x=\mp\cos t$, $\tau_y=\pm\sin t$ (здесь нужно брать разный знак для разных координатных четвертей, чтобы было правильное направление касательного вектора, ну да ладно). Тогда $X=a\cos^3t\mp\lambda\cos t$, $Y=a\sin^3t\pm\lambda\sin t$. Но если мы сюда подставим $t$ для вершины, то получим (например, для $t=0$) $X=a-\lambda$, $Y=0$, то есть теперь мы получаем касательную в вершине при $t=0$ - ось абсцисс, как и должно быть и что также следует из уравнения касательной, написаного выше для любого $t$. Но то, что я подчеркнул мне кажется неправомерным, ведь мы получили $\tau_x=\mp\cos t$, $\tau_y=\pm\sin t$ для любого $t$ кроме вершин (иначе мы сокращаем на ноль). По-моему важнее, что в вершинах вектор касательной равен нулю, значит из формулы $\mathbf{R}=\mathbf{r}+\lambda\boldsymbol{\tau}$ мы не можем получить уравнение касательной в вершинах. Значит её нужно получить другим путём и потом обнаружить, что уравнение касательной в любой точке астроиды можно написать в едином виде $2X\sin t+2Y\cos t-a\sin 2t=0$, но я пока не вижу как.

Можно было, конечно, пойти другим путём. Найти уравнение касательной в каждой точке кроме вершин, потом угадать касательные в вершинах, обнаружить, что они описываются тем же уравнением, остановится и удовлетвориться. Но у меня слишком много таких математических деталей, о которые я часто спотыкаюсь, так что хотелось бы немного восполнить пробелы. И ещё, я понимаю частный случай уравнения прямой проходящей через точку $x_0,y_0$ через направляющий вектор в случае, когда одна из координат последнего равна нулю, то есть когда мы имеем прямую параллельную одной из осей координат, и в данной задаче таким уравнением будет $X=a-\lambda$, $Y=0$ (для $t=0$ ну и для $t=\pi$), но как я писал, оно получено из уравнений, полученных для любой точки кроме вершин.

По уравнению нормали вопросов нет (знаю как получить), если разберусь с уравнением касательной.

-- 11 апр 2021, 01:25 --

Небольшое уточнение, в вершинах астроиды $\mathbf{r}'=0$ и $|\mathbf{r}'|=0$, а единичный орт $\boldsymbol{\tau}$ не определен, но это не сильно меняет изложение выше, ведь можно написать также $\mathbf{R}=\mathbf{r}+\lambda\mathbf{r}'$.

[svv]

В Вашем случае в вершинах астроиды существует касательная, но астроида там не является гладкой.

Бывает даже, что в некоторой точке кривая гладкая, при том, что там $\mathbf r'=0$:
$\mathbf r(t)=\mathbf i t^3$
Это прямая, совпадающая с осью абсцисс. Ясно, что при $t=0$ найти направление касательной с помощью $\mathbf r'$ мешает только неудачная параметризация, сама кривая в нуле не имеет никаких особенностей. Поэтому с такими случаями можно справиться, "компенсировав" стремление $\mathbf r'$ к нулю тем или иным способом. В случае астроиды можно, несмотря на негладкость кривой в вершинах, найти в них односторонние пределы вектора $\boldsymbol{\tau}=\frac{\mathbf r'}{|\mathbf r'|}$. Вы, по-моему, так и сделали.

[misha.physics]

Спасибо, понял. В сторону односторонних пределов были какие-то мысли, но не развил идею. Интересно ещё, что для каждой точки астроиды от точки к точке касательная меняется непрерывно, но в вершинах кривая не гладкая, вектор касательной там резко меняется на противоположный, впрочем, как и вектор главной нормали. Значит и трёхгранник Френе там резко разворачивается, хотя его правая тройка остается при этом правой.

-- 11 апр 2021, 16:24 --

misha.physics в сообщении #1513887 писал(а):

Бывает даже, что в некоторой точке кривая гладкая, при том, что там $\mathbf r'=0$:
$\mathbf r(t)=\mathbf i t^3$

Сначала подумал, что вы имеете ввиду кубическую параболу, но потом понял, что для оси абсцисс тоже так будет.

[misha.physics]

Здравствуйте. Остановился на одном месте. Нужно найти кривизну кривой $\mathbf{r}=\{\cos^3t,\sin^3t,\cos 2t\}$. По формуле, кривизна $k_1=\displaystyle\frac{|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''|}{|\mathbf{r}'|^3}$. Получаем $|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''|=\displaystyle\frac{15}{4}\sin^22t$, $|\mathbf{r}'|=\displaystyle\frac{5}{2}|\sin 2t|$, и кривизну $k_1=\displaystyle\frac{6}{25}\frac{\sin^22t}{|\sin^32t|}$. Ответ в книге, $k_1=\displaystyle\frac{6}{25\sin 2t}$. Но расматривая нашу кривую на отрезке $[0,2\pi]$, согласну ответу в книге на некоторых интервалах мы получим отрицательную кривизну, но согласно определению последней она является неотрицательной. Я видел, что если кривая плоская, то ей можно приписать знак, это понимаю, но здесь у нас трёхмерная кривая. Значит, или ответ в книге правильный, но нужно проинтерпретировать отрицательную кривизну, либо в ответе ошибка/опечатка, либо его написали только для интервала первой четверти, а для других трёх будет так же, но нужно будет взять модуль там, где нужно. Но тогда странно, что это не указали в ответе. То, что в четырёх вершинах кривизна нашей крывой обращается в бесконечность - понятно.

[svv]

В ответе неточность. Для уверенности посмотрите:
Мищенко, Соловьёв, Фоменко. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. 2004
Там эта же задача под номером 4.10д. В ответе есть модуль.

Задачник интересен и сам по себе.

[misha.physics]

Спасибо! Понял. У меня было первое издание этого задачника, теперь нашёл и второе.

[misha.physics]

Получается, что для векторов касательной и главной нормали в ответе тоже неточность? Там пишет $\boldsymbol{\tau}=\displaystyle\left[-\frac{3}{5}\cos t,\frac{3}{5}\sin t,-\frac{4}{5}\right]$, $\mathbf{n}=[\sin t,\cos t,0]$, а у меня получаются те же векторы, но умноженные на $\displaystyle\frac{\sin 2t}{|\sin 2t|}$. В вышеупомянутом задачнике такой задачи не нашёл. Вектор бинормали у меня понятное дело совпадает.

(Большие фигурные скобки)

А можно сделать, чтобы эта дробь была в больших фигурных скобках? У меня они почему-то не отображаются: $\left\{\displaystyle\frac{a}{b}\right\}$.

[misha.physics]

(Оффтоп)

Странно, уже отображаются.

[Someone]

(Оффтоп)

misha.physics в сообщении #1514866 писал(а):

Странно, уже отображаются.

Можно ещё использовать команды \lbrace и \rbrace вместо \{ и \}: $\left\lbrace\frac ab\right\rbrace$.

[misha.physics]

(Оффтоп)

Спасибо, не знал. Просто я раньше написал \left{, а нужно было \left\{, и модератор поправил. Просто я рассматривал \left{, как одну команду, и подумал, что обратный слеш перед { уже не нужен.

[svv]

misha.physics в сообщении #1514863 писал(а):

$\boldsymbol{\tau}=\displaystyle\left[-\frac{3}{5}\cos t,\frac{3}{5}\sin t,-\frac{4}{5}\right]$

Кривая замкнутая и $2\pi$-периодическая. Компонента $\tau_z$ всюду отрицательна.

Должен ли вектор $\boldsymbol{\tau}}$ репера Френе «по стандарту» быть направлен в сторону возрастания параметра? Ну, наверное, должен. Но в приведённом ответе это точно не так, иначе получалось бы, что наша замкнутая кривая всё время опускается вниз, со скоростью $\frac{dz}{ds}=-\frac 4 5$ (где $s$ — натуральный параметр), как монахи на картине Эшера "Восхождение и спуск".

[misha.physics]

Да, именно. Я тоже анализировал вектор $\boldsymbol{\tau}$, но только компоненты $\tau_x$ и $\tau_y$, хотя, действительно, проще всего $\tau_z$. Значит, таки неточность в ответе и у меня получилось правильно - нужно домножить векторы $\boldsymbol{\tau}$ и $\mathbf{n}$ на $\displaystyle\frac{\sin 2t}{|\sin 2t|}$.