Около теоремы Вильсона

[Padawan]

Задача. Найдите все натуральные $n$ такие, что $(n-1)!+1$ есть степень $n$.

Попытки решения. Пока есть единственное соображение, что по теорема Вильсона $n=p$ -- простое число (при $n>1$ выполнено $(n-1)!+1\equiv 0 \pmod n$ тогда и только тогда, когда $n$ -- простое). Проверка показывает, что простые $2, 3, 5$ подходят, а дальше $7, 11, 13, 17, 19$ не подходят. Видимо, $(p-1)!+1=p^k$ может выполняться только при небольших простых $p$ и у этого есть какая то простая причина. Не пойму, какая...

[nnosipov]

Padawan в сообщении #1514142 писал(а):

Видимо, $(p-1)!+1=p^k$ может выполняться только при небольших простых $p$ и у этого есть какая то простая причина.

При $p>5$ уже не может. Это теорема Лиувилля, см. задачу 123 в книге: Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. М.: Просвещение, 1968.

Указание такое: переписать в виде $(p-2)!=p^{k-1}+\ldots+p+1$, после чего перейти к сравнению по модулю $p-1$.

[Padawan]

nnosipov
Спасибо! Получилось. $(p-2)!\equiv 0\pmod {p-1}$, так как $p-1$ составное, большее 4. Получаем $0\equiv k\pmod {p-1}$. Значит, $k=0$ или $k\geqslant p-1$, чего не может быть.

[nnosipov]

Да, все так.

Упрощенная версия этой задачи предлагалась на региональном этапе Всероссийской олимпиады в 2007/2008 уч. году. Упрощение состояло в том, что показатель степени $k$ предполагался нечетным.