"Похожие" числа

[xagiwo]

prrrr в сообщении #1513939 писал(а):

Если число состоит из одинаковых нечетных цифр $1, 3, 5, 7$, то у него не может быть похожего, т.к. это простые числа и их невозможно разложить на множители. Так же и у числа, состоящего только из $2$ (простое, четное).

Поподробнее, как из простоты цифры следует отсутствие похожего у числа, из этой цифры составленного? Это не очевидно.

[prrrr]

xagiwo в сообщении #1513953 писал(а):

prrrr в сообщении #1513939 писал(а):

Если число состоит из одинаковых нечетных цифр $1, 3, 5, 7$, то у него не может быть похожего, т.к. это простые числа и их невозможно разложить на множители. Так же и у числа, состоящего только из $2$ (простое, четное).

Поподробнее, как из простоты цифры следует отсутствие похожего у числа, из этой цифры составленного? Это не очевидно.

1. Мы не можем получить число, записанное только одной простой цифрой с помощью перестановки цифр в числе и записи с помощью других цифр (невозможно сопоставить простой цифре число, записанное другими цифрами, так, чтобы сумма и произведение этих цифр были равны этому простому числу.
2. Для того, чтобы получить число, отличное от записанного, учитывая п.1., необходимо в запись числа добавить не менее одной цифры, а это, как минимум изменит сумму цифр и она не будет равна сумме цифр в исходном числе.

[xagiwo]

prrrr в сообщении #1513970 писал(а):

и записи с помощью других цифр (невозможно сопоставить простой цифре число, записанное другими цифрами, так, чтобы сумма и произведение этих цифр были равны этому простому числу.

Одной простой цифре невозможно. Но про несколько простых цифр это же ничего не говорит? Тем более, у Вас уже был контрпример 2·2 = 4

[prrrr]

xagiwo в сообщении #1514001 писал(а):

Одной простой цифре невозможно. Но про несколько простых цифр это же ничего не говорит? Тем более, у Вас уже был контрпример 2·2 = 4

Да, я понимаю, но $22$ и $4$ это особый случай. Для числа, составленного из одинаковых цифр похожее есть только для $22$.
Но не могу пока понять как подступиться к этой проблеме..
Число, составленное из нескольких одинаковых простых цифр, например вида $\overline{AAAA}$ можно представить в виде $A\cdot1111$. Дальше приходим к тому, что в зависимости от количества цифр получаем число $A$ и разную по длине последовательность $1$, что с ней дальше делать не понятно.

[xagiwo]

Покажите, почему при $A = 5, 7$ число с произведением цифр $A^n$ обязательно получается из $\overline{AA...A}$ добавлением нескольких единиц. Потом можете посмотреть на $A = 3$. Со случаем же $A = 2$ в этой задаче, на самом деле, всё очень просто.

[kotenok gav]

У любого числа, состоящего из двоек, кроме самой двойки, есть похожие.

[prrrr]

xagiwo в сообщении #1514018 писал(а):

Покажите, почему при $A = 5, 7$ число с произведением цифр $A^n$ обязательно получается из $\overline{AA...A}$ добавлением нескольких единиц. Потом можете посмотреть на $A = 3$. Со случаем же $A = 2$ в этой задаче, на самом деле, всё очень просто.

С числом из $2$ разобрался)) Получается так: пусть количество $2$ в числе - $n$, тогда при четном $n$ похожее число будет состоять из $\frac{n}{2}$ цифр $4$, при нечетном $n$ похоже число будет состоять из одной $2$ и $\frac{n-1}{2}$ цифр $4$.

Для $3, 5, 7$ получается, что для того, чтобы получить одинаковое произведение цифр для двух разных чисел, нужно добавить хотя бы одну $1$ (тогда числа будут разные, но произведение цифр одинаковым), но тогда сумма цифр будет отличаться не менее чем на $1$, и числа не могут считаться похожими.

[xagiwo]

prrrr в сообщении #1514085 писал(а):

чтобы получить одинаковое произведение цифр для двух разных чисел, нужно добавить хотя бы одну $1$

Это не обязательно верно(попробуйте сами придумать контрпример). Для цифр 5 и 7 это верно, я предлагаю подумать, почему. Кстати, знаете про основную теорему арифметики?

[prrrr]

xagiwo в сообщении #1514091 писал(а):

Это не обязательно верно(попробуйте сами придумать контрпример). Для цифр 5 и 7 это верно, я предлагаю подумать, почему. Кстати, знаете про основную теорему арифметики?

Да, конечно: любое число можно представить в виде произведения простых чисел.
Я думал в эту сторону, но единственное, что у меня пока получается это то, что для того, чтобы получить одинаковое произведение для числа записанного, например $5$-ми, нужно, чтобы похожее число (которое как раз и можно представить в виде простых множителей) представляло собой произведение ровно такого же количества $5$, а это невозможно, т.к. тогда мы получим исходное число. Этого можно избежать, добавив в запись похожего числа $1$, но тогда сумма цифр в похожем числе будет отличаться от числа, записанного $5$.
Тоже самое получаем для чисел, записанных только $7$ и только $3$.

[Aritaborian]

prrrr в сообщении #1514251 писал(а):

Да, конечно: любое число можно представить в виде произведения простых чисел.

FGJ, вы одно слово пропустили.

[prrrr]

Задачу решил. Спасибо огромное всем за помощь и идеи!

[xagiwo]

prrrr
Из интереса - какое решение получилось? Мне кажется, здесь легко было ошибиться.

[prrrr]

xagiwo в сообщении #1514804 писал(а):

prrrr
Из интереса - какое решение получилось? Мне кажется, здесь легко было ошибиться.

Получилось вот такое решение:

Все упоминаемые ниже числа – натуральные.
Представим числа от $1$ до $9$ в виде чисел сумма и произведение цифр в которых равно самому числу:
$1 \to 1$
$2 \to 2$
$3 \to 3$
$4 \to 22$
$5 \to 5$
$6 \to 123$
$7 \to 7$
$8 \to 1124$
$9 \to 11133$
Тогда видно, что из однозначных чисел похожих не будет у чисел $1, 2, 3, 5, 7$. Т.к. это простые однозначные числа, их невозможно разложить на множители и невозможно найти число для которого сумма и произведение будут равны $1, 2, 3, 5, 7$. Для того, чтобы получить похожее число, отличное от любого выбранного числа из указанных $(1, 2, 3, 5, 7)$, и для которого произведение цифр было равно выбранному числу, мы должны добавить в запись похожего числа цифру $1$ (например $7$ и $17$). Но тогда сумма цифр в заданном $(7)$ и похожем $(17)$ числах будут отличаться, а это противоречит условию и значит полученное число $(17)$ не может считаться похожим. Аналогично доказывается для всех чисел $1, 2, 3, 5, 7$.

Для составленных из разных цифр двузначных, трехзначных и т.д. чисел, мы можем получить похожие числа следующими способами:
1). Поменяв местами две или более цифры в числе. Например $123$ и $321$
2). Кроме того, из сопоставления, приведенного выше, видно, что в произвольном натуральном числе, в записи которого использовано не менее одной цифры, можно каждую использованную для записи числа цифру, заменить на цифры, соответствующие числу справа и получить похожее число. Причём цифры могут идти в любом порядке. Например $34$, $43$ и $322$, или $9875$, $9785$ и $11133112475$
3). Для чисел, имеющих в записи $0$, похожие можно получить добавлением еще одного $0$ в любом месте числа.

Таким образом, все двух и более значные числа, состоящие из разных цифр (включая $0$) будут иметь похожие.

Далее рассмотрим двух и более значные числа, составленные только с помощью одной цифры:

1). Все $1$. Для того, чтобы получить похожее число произведение цифр должно быть равно $1$, это значит, что все цифры в похожем числе должны быть $1$. Однако, для того, чтобы получить отличное от заданного похожее число и сохранить произведение, равное $1$, мы должны в запись похожего числа добавить еще одну $1$, но это значит, что суммы цифр заданного и похожего числа будут отличаться. Это противоречит условию, значит полученное число не будут похожим. Этот вывод справедлив для любого количества цифр $1$.

2). Все $2$. Похожего не будет только у числа $2$ (что указано выше). Для остальных чисел, состоящих из $n$ цифр $2$ можно будет найти похожие по следующему правилу:
- если $n$ четное, то похожее число будет состоять из $\frac{n}{2}$ цифр $4$. Сумма цифр в исходном числе будет равна: $2n$, в похожем числе $4\frac{n}{2} = 2n$. Суммы одинаковые. Произведение цифр в исходном числе будет равно: $2^n$, в похожем: $4^{\frac{n}{2}} = 2^n$. Произведения тоже одинаковые.
-если $n$ нечетное, то похожее число будет состоять из одной цифры $2$ и $\frac{(n-1)}{2}$ цифр $4$. Сумма цифр в исходном числе будет равна: $2n$, в похожем числе $2+4\frac{(n-1)}{2} = 2n$. Суммы одинаковые. Произведение цифр в исходном числе будет равно: $2^n$, в похожем: $4^{\frac{(n-1)}{2}} = 2^n$. Произведения тоже одинаковые.

3). Все $3$. Для чисел, составленных только из цифры $3$ можно найти похожие числа в которых произведение цифр будет совпадать с заданным числом. (например $3333$ и $99$). Это возможно потому, что произведение троек можно представить в виде произведения других одинаковых цифр, например $3\cdot3 = 9$ (как и $2\cdot2 = 4$). Однако, сумма цифр в заданном и похожем числе будут отличаться, т.к.:
- если $n$ четное, то похожее число может состоять из $\frac{n}{2}$ цифр $9$ и сумма цифр будет равна $9\frac{n}{2} = 4,5n$, сумма цифр в исходном числе равна $3\cdot n$, это противоречит условию, суммы не равны и числа не могут считаться похожими.
- если $n$ нечетное, то похожее число может состоять из цифры $3$ и $\frac{(n-1)}{2}$ цифр $9$ и сумма цифр будет равна $3+9\frac{(n-1)}{2} = 3+4,5n$, сумма цифр в исходном числе равна $3\cdot n$, это противоречит условию, суммы не равны и значит числа не могут считаться похожими.

4). Все $4$. Для чисел, составленных только из $4$, всегда можно будет найти похожее, пользуясь сопоставлением, указанным выше.

5). Все $5$. Число $5$ невозможно разложить на множители (простое число). Кроме того, согласно основной теоремы арифметики, любое натуральное число можно представить в виде произведения простых натуральных чисел единственным способом. Значит число, представляющее собой произведение некоторого количества цифр $5$ не может быть представлено никакими другими простыми сомножителями, значит оно единственное и найти похожее число, для числа, составленного только из цифр $5$, так чтобы произведения цифр были равны невозможно. Можно посмотреть с такой стороны: чтобы получить одинаковое произведение цифр для числа записанного, $5$-ми, нужно, чтобы похожее число (которое как раз и можно представить в виде простых множителей) представляло собой произведение ровно такого же количества $5$, а это невозможно, т.к. тогда мы получим исходное число. Этого можно избежать, добавив в запись похожего числа $1$, но тогда сумма цифр в похожем числе будет отличаться от заданного числа, записанного $5$. Это значит, что найти похожее для числа, записанного только с помощью цифры $5$ невозможно.

6). Все $6$. Для чисел, составленных только из $6$, всегда можно будет найти похожее, пользуясь сопоставлением, указанным выше.

7). Все $7$. Число $7$ невозможно разложить на множители (простое число). Аналогично доказательству для числа, составленного из цифр $5$, можно доказать, что для числа, составленного только из цифр $7$ так же невозможно найти похожее.

8). Все $8$. Для чисел, составленных только из $8$, всегда можно будет найти похожее, пользуясь сопоставлением, указанным выше.

9). Все $9$. Для чисел, составленных только из $9$, всегда можно будет найти похожее, пользуясь сопоставлением, указанным выше.

Ответ: Похожих числе не будет у чисел $1, 2, 3, 5, 7$ и чисел, составленных только из цифр $1, 3, 5, 7$ (например $1111, 33, 555, 77777777$).