Можно ли индуктивно из Q ∈ (0;1) получить Q ∈ (-inf;+inf)?

[nightness3]

Возможно вопрос глупый, но вчера прочитал книгу Виленкина по теории множеств и сейчас решаю упражнения. Учусь в школе, поэтому кого-то, чтобы спрашивать вопросы на эту тему, нет:

Если мы имеем множество $\mathbb{Q}$ $\in$ $(0; 1)$, то можем ли мы получить индуктивно множество $\mathbb{Q}$ $\in$ $(-\infty; +\infty)$? Из $\mathbb{Q}$ $\in$ $(0; 1)$ получим $\mathbb{Q}$ $\in$ $(-1; +1)$ с помощью $f(x) = 2x - 1$, а теперь из $\mathbb{Q}$ $\in$ $(-1; +1)$ с помощью $f(x) = 2x$ каждый раз растягиваем множество в два раза. Если есть логическая ошибка, то пожалуйста подскажите правильное решение данной задачи.

[svv]

Подскажите, пожалуйста, что за книга. Я знаю книгу Н.Я.Виленкина «Рассказы о множествах», но там такого упражнения нет.

[Mikhail_K]

nightness3
Вы используете весьма нестандартные терминологию и обозначения.
Что такое у Вас $\mathbb{Q}$? Как Вы понимаете обозначение $\mathbb{Q}\in(0,1)$, что оно по-Вашему означает? Что такое "получить индуктивно"? Постарайтесь сформулировать максимально чётко.

[nightness3]

Да, эта книга.

"Установите взаимно однозначное соответствие между множеством всех рациональных чисел отрезка $0 \leqslant x \leqslant 1$ и множеством всех
точек плоскости, обе координаты которых рациональны." Установить взаимно однозначное соответствие между $\mathbb{Q}$ и точками плоскости с рациональными координатами я могу, поэтому мне нужно лишь установить взаимно однозначное соответствие между $Q \in [0;1]$ и $Q \in R$, мне показалось удобнее сделать перевести $Q \in (0;1)$ в $Q \in R$, поэтому я $Q \in (0;1)$ перевел в $Q \in [0;1]$.

-- 12.04.2021, 21:03 --

Mikhail_K в сообщении #1514042 писал(а):

nightness3
Вы используете весьма нестандартные терминологию и обозначения.
Что такое у Вас $\mathbb{Q}$? Как Вы понимаете обозначение $\mathbb{Q}\in(0,1)$, что оно по-Вашему означает? Что такое "получить индуктивно"? Постарайтесь сформулировать максимально чётко.

$\mathbb{Q}$ - рациональные числа, а $\mathbb{Q} \in (0;1)$ - рациональные числа в промежутке $(0;1)$. Насчет получить индуктивно я имею ввиду, что через бесконечное количество итераций применения функции $f(x) = 2x$ на множество $\mathbb{Q} \in (0;1)$ мы получим $\mathbb{Q} \in \mathbb{R}$. То есть изначально имеем $\mathbb{Q} \in (-1;1)$, после $\mathbb{Q} \in (-2;2)$ и так далее.

[mihaild]

nightness3 в сообщении #1514043 писал(а):

поэтому мне нужно лишь установить взаимно однозначное соответствие между $Q \in [0;1]$ и $Q \in R$,

Вы не путаете $\in$ и $\cap$? $x \in y$ означает "$x$ - элемент $y$" (утверждение), $x \cap y$ - пересечение $x$ и $y$ (множество).
Предполагая, что путаете - вы получаете последовательность отображений $(\mathbb Q \cap (0, 1)) \to (\mathbb Q \cap (-2^n, 2^n))$. Но нам-то нужна не последовательность, а одно отображение $(\mathbb Q \cap (0, 1)) \to \mathbb Q$, которое из этой последовательности непонятно как готовить.

[arseniiv]

Да, посмотрите например на тангенс (один период) и сделайте что-то похожее, переводящее рациональные точки всегда в рациональные. Знакомы с кусочно-заданными функциями?

[nightness3]

mihaild в сообщении #1514044 писал(а):

nightness3 в сообщении #1514043 писал(а):

поэтому мне нужно лишь установить взаимно однозначное соответствие между $Q \in [0;1]$ и $Q \in R$,

Вы не путаете $\in$ и $\cap$? $x \in y$ означает "$x$ - элемент $y$" (утверждение), $x \cap y$ - пересечение $x$ и $y$ (множество).
Предполагая, что путаете - вы получаете последовательность отображений $(\mathbb Q \cap (0, 1)) \to (\mathbb Q \cap (-2^n, 2^n))$. Но нам-то нужна не последовательность, а одно отображение $(\mathbb Q \cap (0, 1)) \to \mathbb Q$, которое из этой последовательности непонятно как готовить.

Да, точно, спутал. Понимаю, что нужно одно отображение, но все же ответ на изначальный вопрос хочу узнать, можем ли мы такой последовательностью отображений получить $\mathbb{Q} \cap \mathbb{R}$?

[arseniiv]

Если наделать последовательность множеств $\mathbb Q \cap (-2^n; 2^n)$, то потом ведь их придётся все объединить — ни одно из них не будет совпадать с $\mathbb Q$, а конца у последовательности нет, — и если мы хотим сделать одно отображение из исходного $\mathbb Q \cap (0; 1)$ в это объединение, нам придётся ломать копья без всякой радости и надежды, ведь объединение-то не дизъюнктное.

[nightness3]

arseniiv в сообщении #1514046 писал(а):

Да, посмотрите например на тангенс (один период) и сделайте что-то похожее, переводящее рациональные точки всегда в рациональные. Знакомы с кусочно-заданными функциями?

Знаком, в других задачах использовал, однако в этой не знаю как использовать.

-- 12.04.2021, 21:20 --

Точнее понимаю как использовать, нужно задать какую-то функцию, которая переводит рациональные в рациональные, причем за $(0;1)$ пробегает всю числовую прямую. Но я не могу припомнить такой функции, хотя наверное мало вспоминал.

-- 12.04.2021, 21:22 --

Подойдет ли функция: $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1}$?

[vpb]

Вы пытаетесь установить соответствие с помощью какой-то "хорошей" функции (многочлен, рациональная функция, кусочно-линейная и т.д.), а это совершенно необязательно (можно установить соответствие между ${\mathbb Q}\cap(0,1)$ и ${\mathbb Q}$ кусочно-линейной функцией, а между ${\mathbb Q}\cap[0,1]$ и ${\mathbb Q}$ (скажем) нельзя). Функцию можно в данном случае задавать просто описанием. А описание простое: пронумеровать как-то все числа из ${\mathbb Q}\cap[0,1]$, и все числа из ${\mathbb Q}$ тоже, а потом поставить в соответствие $n$-му числу из ${\mathbb Q}\cap[0,1]$ $n$-е число из ${\mathbb Q}$ .

[nightness3]

vpb в сообщении #1514053 писал(а):

Вы пытаетесь установить соответствие с помощью какой-то "хорошей" функции (многочлен, рациональная функция, кусочно-линейная и т.д.), а это совершенно необязательно (можно установить соответствие между ${\mathbb Q}\cap(0,1)$ и ${\mathbb Q}$ кусочно-линейной функцией, а между ${\mathbb Q}\cap[0,1]$ и ${\mathbb Q}$ (скажем) нельзя). Функцию можно в данном случае задавать просто описанием. А описание простое: пронумеровать как-то все числа из ${\mathbb Q}\cap[0,1]$, и все числа из ${\mathbb Q}$ тоже, а потом поставить в соответствие $n$-му числу из ${\mathbb Q}\cap[0,1]$ $n$-е число из ${\mathbb Q}$ .

Я правильно понимаю, что таким образом мы всегда можем сопоставлять множества одной мощности? Например иррациональные в (0;1) и все действительные числа? Пронумеруем иррациональные из данного промежутка и все действительные и поставим в соответствие?

[arseniiv]

vpb в сообщении #1514053 писал(а):

а между ${\mathbb Q}\cap[0,1]$ и ${\mathbb Q}$ (скажем) нельзя

О, точно, теперь же у нас стал отрезок, а я там выше предлагал кусочно-линейную и не заметил перемены.

nightness3 в сообщении #1514055 писал(а):

Я правильно понимаю, что таким образом мы всегда можем сопоставлять множества одной мощности? Например иррациональные в (0;1) и все действительные числа? Пронумеруем иррациональные из данного промежутка и все действительные и поставим в соответствие?

«Пронумеруем» обычно говорят именно про счётные множества — потому что они биективны с $\mathbb N$, — но если понимать это как вольность речи, то да, это будет простое следствие определения равномощных множеств: если мы «пронумеровали» элементы множеств $A, B$ всеми элементами множества $C$, притом каждый ровно по разу, то это же значит, что у нас есть две биекции $C \to A, C \to B$ и потому $|A| = |C| = |B|$.

[mihaild]

nightness3 в сообщении #1514055 писал(а):

Я правильно понимаю, что таким образом мы всегда можем сопоставлять множества одной мощности?

Равномощность и означает существование такого сопоставления. Т.е. если мы доказали, что два множества равномощны, то дальше можно просто сказать "возьмем биекцию между ними".

nightness3 в сообщении #1514055 писал(а):

Пронумеруем иррациональные из данного промежутка и все действительные и поставим в соответствие?

Как это вы все иррациональные нумеровать собрались?
Рассуждение vpb ссылается на то, что и $\mathbb Q$, и $\mathbb Q \cap [0, 1]$ равномощны натуральным числам. Нельзя просто так взять любые два множества и сказать "пронумеруем".

[nightness3]

mihaild в сообщении #1514061 писал(а):

nightness3 в сообщении #1514055 писал(а):

Я правильно понимаю, что таким образом мы всегда можем сопоставлять множества одной мощности?

Равномощность и означает существование такого сопоставления. Т.е. если мы доказали, что два множества равномощны, то дальше можно просто сказать "возьмем биекцию между ними".

nightness3 в сообщении #1514055 писал(а):

Пронумеруем иррациональные из данного промежутка и все действительные и поставим в соответствие?

Как это вы все иррациональные нумеровать собрались?
Рассуждение vpb ссылается на то, что и $\mathbb Q$, и $\mathbb Q \cap [0, 1]$ равномощны натуральным числам. Нельзя просто так взять любые два множества и сказать "пронумеруем".

Понял, спасибо