Простая задача на центральную предельную теорему

[АндрейК]

Известно, что левши составляют в среднем 1%. Оценить вероятность того, что по меньшей мере четверо левшей окажется среди 200 человек.

Когда я решаю в лоб на научном калькуляторе, то получаю ответ 0,142 (и он сходится с ответом к задаче)
А когда решаю с использованием ЦПТ получаю ответ 0,08 (использую таблицу для функции нормального распределения http://www.math.tau.ac.il/~eronshir/Pro ... nTable.jpg ). Голову уже почти сломал, не понимаю, где ошибка.

[Brukvalub]

АндрейК писал(а):

Известно, что левши составляют в среднем 1%. Оценить вероятность того, что по меньшей мере четверо левшей окажется среди 200 человек.

Когда я решаю в лоб на научном калькуляторе, то получаю ответ 0,142 (и он сходится с ответом к задаче)
А когда решаю с использованием ЦПТ получаю ответ 0,08 (использую таблицу для функции нормального распределения http://www.math.tau.ac.il/~eronshir/Pro ... nTable.jpg ). Голову уже почти сломал, не понимаю, где ошибка.

А я знаю, в чем дело! Уверен, что сами Вы о причине не догадаетесь, поэтому вынужден Вам подсказать.
Суть в том, что когда Вы решаете с помощью ЦПТ, то делаете в решении ошибку! Вот где собака зарыта!

[GAA]

АндрейК, приведите, пожалуйста, свое, основанное на нормальном приближении, решение и Вам помогут найти ошибку. Как набирать формулы см. в теме Первые шаги в наборе формул.

0. Вероятность того, что среди 200 человек окажется 0, 1, 2 либо 3 левши равна
$Q = p_{200}(0) + p_{200}(1) + p_{200}(1) + p_{200}(3) =$$ C_{200}^0p^0q^{200} + C_{200}^1p^1q^{199} + C_{200}^2p^2q^{198} + C_{200}^3p^3*q^{197}$.
Тогда искомая вероятность, как Вы и указали, равна $P= 1 - Q = 0.14197$.

1. Используя для вычисления $Q$ пуассоновское приближение, получим $P = 0.14288$. Привел для сравнения с результатом нормального приближения.

[PAV]

Я не знаю, как Вы решали задачу с помощью ЦПТ, но вообще-то в данной ситуации применять ее неправильно. Это приближение, которое применяют когда $np$ - число достаточно большое. В данном же случае оно равно 2 и применение ЦПТ не оправдано. Здесь следует применять приближение Пуассона с параметром $\lambda=2$.

[АндрейК]

Ясно, теперь я понял, почему ЦПТ не применима! При помощи пуассоновского распределия все получается. Спасибо! Отличный форум.
У меня еще один вопрос. Если следующая задача.
Пусть $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ последовательность независимых случайных величин. $a_n$ принимает значения $n, -n,$ и $0$ с вероятностями $1/4, 1/4$ и $1/2$
Выполнена ли ЦПТ для последовательности $\{a_n\}$

Как ЦПТ может быть выполнена для этой последовательности, если она верна только для одинаково распределенных случайных величин?

[PAV]

Немного не так. Одинаковая распределенность слагаемых - это одно из наиболее известных достаточных условий, при которых ЦПТ выполнена. Но есть и другие, более слабые условия.

[--mS--]

Когда говорят, что для последовательности разнораспределённых величин выполнена ЦПТ, имеют в виду, что распределения членов последовательности центрированных и нормированных сумм $\displaystyle\frac{S_n-\mathsf ES_n}{\sqrt{\mathsf D S_n}}$ сходятся стандартному нормальному. Было бы странно полагать, что в ЦПТ можно рассматривать только независимые и только одинаково распределённые величины - ведь предел никак не изменится, если, например, поменять одно из слагаемых.

[АндрейК]

$ES_n$ и $DS_n$ найти несложно, но вот как доказать, что распределение сходится к стандартному нормальному?

[PAV]

Проверьте выполнение условия Линдеберга.

[АндрейК]

А не будет ли достаточным ограниченность матожидания и дисперсии? (не только в этой задаче, а в общем) Нельзя ли эту задачу решить без условия Линдеберга? Подразумевается, что мы знаем только ЦПТ и ЗБЧ.

Посмотрите, все-таки, как я решаю первую задачу с помощью ЦПТ. Мне кажется, такого большого расхождения не должно получаться.
$a_i$ - случайная величина, принимающая 1, если человек - левша, $Ea_i=0,01, Da_i=0,0099$
$S_n = a_1+...+a_n$
$P(S_n\ge4)=P(\frac{S_n-0,01n}{\sqrt{n}\sqrt{0,0099}}\ge\frac{4-0,01n}{\sqrt{n}\sqrt{0,0099}})=1-F(\frac{4-0,01n}{\sqrt{n}\sqrt{0,0099}})=1-F(1,414)=1-0,9207=0,08$

[PAV]

АндрейК в сообщении #151379 писал(а):

А не будет ли достаточным ограниченность матожидания и дисперсии?

Вообще да, этого достаточно, но в данной же задаче дисперсия не ограничена. По-моему, без Линдеберга тут не обойтись. Даже условие Ляпунова, немного ослабляющее Линдеберга, тут не срабатывает.

Добавлено спустя 1 минуту 5 секунд:

АндрейК в сообщении #151379 писал(а):

Нельзя ли эту задачу решить без условия Линдеберга?

Я не знаю как.

[--mS--]

АндрейК писал(а):

А не будет ли достаточным ограниченность матожидания и дисперсии? (не только в этой задаче, а в общем) Нельзя ли эту задачу решить без условия Линдеберга? Подразумевается, что мы знаем только ЦПТ и ЗБЧ.

Можно попробовать через характеристические функции.

[PAV]

АндрейК писал(а):

Посмотрите, все-таки, как я решаю первую задачу с помощью ЦПТ. Мне кажется, такого большого расхождения не должно получаться.
$a_i$ - случайная величина, принимающая 1, если человек - левша, $Ea_i=0,01, Da_i=0,0099$
$S_n = a_1+...+a_n$
$P(S_n\ge4)=P(\frac{S_n-0,01n}{\sqrt{n}\sqrt{0,0099}}\ge\frac{4-0,01n}{\sqrt{n}\sqrt{0,0099}})=1-F(\frac{4-0,01n}{\sqrt{n}\sqrt{0,0099}})=1-F(1,414)=1-0,9207=0,08$

По-моему, у Вас небольшая ошибка в арифметике.
$\frac{4-0.01n}{\sqrt{n\cdot 0.01\cdot 0.99}}=1.421$, а не $1.414$. Но на результат это влияет слабо.

Все-таки разница между приближенным значением 0.08 и истинным 0.14 немаленькая, учитывая, что речь идет о вероятностях.

Если уж хочется применить ЦПТ, то нужно взять в правой части не $4$, а $3.5$. Проверьте и убедитесь, что так будет гораздо точнее. Но все равно здесь применять ЦПТ не очень хорошо.