Неубывающая функция

[evgeniysmv]

Определение из учебника
Функцию $f(x)$ называют неубывающей при $x \underset{A}{\longrightarrow}a$, если для любых двух проколотых окрестностей $\overset{\circ}{U}(a)$ и $\overset{\circ}{U_1}(a)$ точки $a$ из условия, что $\overset{\circ}{U_1}(a) \subset \overset{\circ}{U}(a)$$, следует неравенство

$sup \left\{ f(x): x \in (\overset{\circ}{U}(a) \setminus \overset{\circ}{U_1}(a)) \cap A}} \right\}\leqslant inf\left\{ f(x): x\in \overset{\circ}{U_1}(a) \cap A \right\}$

.

Вопрос: как я понимаю, если $\overset{\circ}{U_1}(a) \subset \overset{\circ}{U}(a)$$, то операция $\overset{\circ}{U}(a) \setminus \overset{\circ}{U_1}(a)$ разделяет окрестность $\overset{\circ}{U}(a)$ на два несвязных множества, одно слева от окрестности $\overset{\circ}{U_1}(a)$, второе справа от неё. Разве точная верхняя грань множества значений $f(x): x \in (\overset{\circ}{U}(a) \setminus \overset{\circ}{U_1}(a)) \cap A}$ может в таком случае быть меньше, чем значения $f(x)$ для $x>x_1$ где $x_1 \in \overset{\circ}{U_1}(a) $ и $x \in (\overset{\circ}{U}(a) \setminus \overset{\circ}{U_1}(a)) \cap A}$ то есть меньше значений подмножества множества, которое она ограничивает? Ведь $inf\left\{ f(x): x\in \overset{\circ}{U_1}(a) \cap A \right\}$, меньше тех значений $f(x)$, для которых $x$ принадлежит тому подмножеству множества $\overset{\circ}{U}(a) \setminus \overset{\circ}{U_1}(a)$, которое находится справа от $\overset{\circ}{U_1}(a)$.

На рисунке изобразил, где находится супремум исходя из того, как я понял данное определение.

[Otta]

Нарисуйте параболу с вершиной в точке $x=a$ ветвями вниз и помедитируйте над ней.

[svv]

Это определение 8.5 из книги В.Д.Морозовой «Введение в анализ», с.310. Я его не понимаю, хотя у меня другие претензии, чем у evgeniysmv.

Морозова нигде не оговаривает, что окрестности (вообще и в определении 8.5 в частности) должны быть симметричными. Напротив:

Цитата:

Любой интервал $(a,b)$, содержащий некоторую точку $x_0$, называют окрестностью этой точки и обозначают $U(x_0)$.

(с.51)

Цитата:

Любое открытое множество метрического пространства $M$, содержащее точку $x_0$, называют окрестностью этой точки и обозначают обычно $U(x_0)$.

(с.182)

После определения автор приводит примеры: функции $1/x^2$ и $\arctg(1/x^2)$ являются неубывающими при $x \underset{A}{\rightarrow}0$, где $A=\mathbb R\setminus \{0\}$.

Ну так возьмём в качестве $U_1$ несимметричную окрестность нуля, и супремум на $\overset{\circ}{U}(0) \setminus \overset{\circ}{U_1}(0)$ (где $U\supset U_1$) не напрягаясь превзойдёт инфимум на $\overset{\circ}{U_1}(0)$. То же касается примера Otta.

[evgeniysmv]

То есть, грубо говоря, исходя из этого определения функция будет являться неубывающей в точке, если с каждым своим шагом приближения к этой точке, что слева, что справа, значения функции не будут уменьшаться? И, к примеру для функции $x^2$ при $x=1$ функцию нельзя назвать неубывающей потому что слева она не убывает при приближении $x$ к 1, но справа убывает при приближении $x$ к 1?

[Otta]

evgeniysmv в сообщении #1513535 писал(а):

То есть, грубо говоря, исходя из этого определения функция будет являться неубывающей в точке,

$x\to a$ это не точка. Это полный набор окрестностей. База.
Но примерно так, да. С поправкой.

evgeniysmv в сообщении #1513535 писал(а):

И, к примеру для функции $x^2$ при $x=1$ функцию нельзя назвать неубывающей

А вот это зависит от множества $A$.

[Otta]

svv в сообщении #1513532 писал(а):

Это определение 8.5 из книги В.Д.Морозовой «Введение в анализ», с.310. Я его не понимаю, хотя у меня другие претензии, чем у evgeniysmv.

Морозова нигде не оговаривает, что окрестности (вообще и в определении 8.5 в частности) должны быть симметричными.

svv
Вы правы, определение дурацкое. Для симметричных окрестностей оно даст то, что нужно, но в этом случае можно было обойтись и без такого аппарата. А поскольку требуется это все преимущественно для доказательства теорем об одностороннем пределе, то вполне достаточно локальной, но естественным образом определяемой монотонности.

[Dan B-Yallay]

svv в сообщении #1513532 писал(а):

Морозова нигде не оговаривает, что окрестности (вообще и в определении 8.5 в частности) должны быть симметричными.

Я извиняюсь, наверное где-то туплю, но никак не могу понять как симметричность помогает в случае например такой функции:

Вложение:

U.jpg [ 23.83 Кб | Просмотров: 0 ]

Очевидно, что даже если брать симметричные окрестности нуля, всё равно

svv в сообщении #1513532 писал(а):

супремум на $\overset{\circ}{U}(0) \setminus \overset{\circ}{U_1}(0)$ (где $U\supset U_1$) не напрягаясь превзойдёт инфимум на $\overset{\circ}{U_1}(0)$

Otta в сообщении #1513548 писал(а):

Вы правы, определение дурацкое.

С этим полностью согласен!

[evgeniysmv]

Цитата:

Очевидно, что даже если брать симметричные окрестности нуля, всё равно

svv в сообщении #1513532 писал(а):

супремум на $\overset{\circ}{U}(0) \setminus \overset{\circ}{U_1}(0)$ (где $U\supset U_1$) не напрягаясь превзойдёт инфимум на $\overset{\circ}{U_1}(0)$

То есть для удовлетворения данному определению функция и сама должна быть симметричной относительно рассматриваемой точки?

[svv]

Dan B-Yallay
Вы совершенно правы, если выйти за рамки примеров автора, то и симметричные окрестности не помогут. Вот другая картинка:


-- Пт апр 09, 2021 11:37:33 --

evgeniysmv в сообщении #1513562 писал(а):

То есть для удовлетворения данному определению функция и сама должна быть симметричной относительно рассматриваемой точки?

Верно, но в таком случае понятие (уже не определение) становится совершенно бесполезным.

[Someone]

svv в сообщении #1513532 писал(а):

Морозова нигде не оговаривает, что окрестности (вообще и в определении 8.5 в частности) должны быть симметричными. Напротив:

Там всё гораздо хуже: в главе 8 речь идёт о пределах отображений произвольных метрических пространств, а в параграфе 8.3, в котором находится обсуждаемое определение, — о пределах действительных функций на метрических пространствах. То есть, вообще в главе 8 рассматриваются отображения $f\colon A\to Y$, где $A\subset X$, а $X$ и $Y$ — некоторые метрические пространства, а в параграфе 8.3 берётся $Y=\mathbb R$. Поэтому вообще непонятно какая там может быть "симметрия" или "асимметрия".
Также я никогда не встречал применения понятий "неубывающая" или "невозрастающая" функция за пределами класса упорядоченных (хотя бы частично упорядоченных) множеств. Термин "монотонное отображение" в топологии означает, что полный прообраз каждой точки из области значений является связным. Это в некотором смысле обобщает понятие монотонной действительной функции, определённой на некотором промежутке числовой прямой, но, боюсь, не в том направлении, которое имеет в виду В. Д. Морозова.