Дифференциальное уравнение с вектор-функцией

[statistonline]

Дано: $\ddot{\gamma}=\dot{\gamma}\times H$, где $\gamma=\gamma(t)$ - кривая (траектория заряженной частицы, влетающей в магнитное поле $H$ под углом $\alpha$). Найти $\gamma(t)$.
Направим $X$ вдоль $H$. Тогда вектор $\ddot{\gamma}$ имеет координаты $(0; \dot{\gamma_z}H; -\dot{\gamma_y}H)$, т.е. вдоль $X$ частица движется равномерно. Далее, понятно, что ускорение частицы всюду будет одинаковым по модулю и направленным по нормали к траектории. Т.е., если я правильно понимаю, то кривизна $\gamma(t)$ будет всюду константой, а, стало быть, это либо прямая, либо винтовая линия. Можно ли как-то без привлечения физики, исходя из дифференциального уравнения, строго доказать, что это винтовая линия. т.е. получить вид $\gamma(t)$?

[Mirage_Pick]

В принципе, можно, конечно, но... В общем, кривизна и кручение однозначно определяют кривую по натуральным уравнениям. Винтовая кривая имеет постоянные кривизну и кручение. Обратное тоже верно: кривая с постоянными кривизной и кручением является винтовой. Таким образом, математически достаточно "всего лишь" показать, что кривизна и кручение исходной кривой постоянны. Но выразить эти величины, имея на руках только выражение

statistonline в сообщении #1513244 писал(а):

$\ddot{\gamma}=\dot{\gamma}\times H$

будет сложнее симплектической и кэлеровой геометрий вместе взятых, ей-богу. Так что, хотя вы и хотели без физики, но физическая интуиция тут гораздо проще и естественнее, я считаю.

[Someone]

statistonline в сообщении #1513244 писал(а):

Можно ли как-то без привлечения физики, исходя из дифференциального уравнения, строго доказать, что это винтовая линия. т.е. получить вид $\gamma(t)$?

Я правильно понимаю, что поле $\mathbf H$ постоянное и однородное, то есть, не зависит ни от времени, ни от координат? Тогда у Вас простая система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, легко решаемая в явном виде.

[statistonline]

Mirage_Pick в сообщении #1513267 писал(а):

Так что, хотя вы и хотели без физики, но физическая интуиция тут гораздо проще и естественнее, я считаю.

Возможно, но требуется именно строго доказать.

Someone в сообщении #1513273 писал(а):

Я правильно понимаю, что поле $\mathbf H$ постоянное и однородное, то есть, не зависит ни от времени, ни от координат? Тогда у Вас простая система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, легко решаемая в явном виде.

Да, $H$ постоянное и однородное поле. Но как перейти к этой системе? Покоординатно?

[nnosipov]

statistonline в сообщении #1513293 писал(а):

Но как перейти к этой системе? Покоординатно?

Вы же сами выше все написали.

[statistonline]

nnosipov, т.е.

$$\begin{cases} \ddot{\gamma_x}=0\\ \ddot{\gamma_y}=\dot{\gamma_z}H\\ \ddot{\gamma_z}=-\dot{\gamma_y}H \end{cases}$$

С первым все понятно. Но во втором и третьем компоненты $\gamma$ относятся ведь к разным осям? И, кроме того, решением же будут экспоненты.

[svv]

Теперь рекомендуется обозначить $v=\dot\gamma$, и получим (отбросив первое уравнение) линейную однородную систему ДУ первого порядка с постоянными коэффициентами:
$\dot v=Av$, где $v=\begin{bmatrix}v_y\\v_z\end{bmatrix}$, $A=\begin{bmatrix}0&H\\-H&0\end{bmatrix}$.
Просто экспоненты (во всяком случае, с вещественными показателями) не будут её решениями — проверьте. То, что и второе, и третье уравнение связывали разные компоненты, для того и нужно, чтобы решением было нечто более хитрое, чем экспонента — тригонометрические функции.

[nnosipov]

Можно также продифференцировать одно из уравнений и затем получить ДУ с постоянными коэффициентами на только одну компоненту. Ну а дальше составить характеристическое уравнение и т.д. по известному алгоритму.

Либо вспомнить линейную алгебру, взять экспоненту от матрицы и т.д. Не знаю, как удобнее для физиков. Но в любом случае математически здесь все просто.

[statistonline]

svv в сообщении #1513315 писал(а):

Теперь рекомендуется обозначить $v=\dot\gamma$, и получим (отбросив первое уравнение) линейную однородную систему ДУ первого порядка с постоянными коэффициентами

Все, кажется, понял.

$$\begin{cases} v'_1=v_2H\\ v'_2=-v_1H\\ \end{cases}$$

Дифференцируем первое, подставляем во второе и получаем стандартное $v''_1=-H^2v_1$, а там уже и тригонометрия появляется. Всем большое спасибо!