О формуле из книги Альфорса

[Evgenii2012]

Дорогие друзья ! Испытываю некоторые затруднения, связанные с возможностью объяснить первое и второе равенство из формулы, приведённой ниже.

$$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|z|=1}\frac{f(1/z)dz}{z(1-z\zeta)}=A+B\zeta+\frac{\zeta^2} {2\pi i}\int\limits_{|z|=1}\frac{z dz}{(1-z\zeta)f(z)}=A+B\zeta-\frac{\zeta^2}{\pi}\int\limits_{|z|<1}\frac{\overline{f}_{\overline{z}}(z)z dxdy}{f(z)^2(1-z\zeta)}\,.$$

На всякий случай, хотел бы уточнить, что формула приведена на стр. 94 в книге Л. Альфорса "Лекции по квазиконформным отображениям", М., Мир, 1969. Заранее благодарен за Ваше мнение !

[svv]

Во втором равенстве применён комплексный вариант теоремы Грина:
$\oint\limits_{\partial G}f\,dz=2i\iint\limits_G f_{\bar z}\,dx\,dy$
В средней части равенства подинтегральная функция содержит множитель $\frac z{1-z\zeta}$, голоморфный в области $|z|<1$ при $|\zeta|<1$. Этот множитель ведёт себя по отношению к производной $\frac{\partial}{\partial\bar z}$ как константа, и остаётся продифференцировать только $\frac 1{\overline{ f}(z)}$. Так получается правая часть.

После первого знака равенства над $f$ всюду должны быть чёрточки, у Вас их нет в знаменателях. См. второе издание на английском (2006):

[svv]

По первому равенству:
$\dfrac 1{z(1-z\zeta)}=\dfrac 1 z+\zeta+\dfrac{\zeta^2 z}{1-z\zeta}$
Каждое слагаемое ещё умножается на $f(1/z)=(\bar f(z))^{-1}$ и интегрируется.
Первое слагаемое не зависит от $\zeta$, и результат интегрирования обозначается $A$.
Второе слагаемое линейно зависит от $\zeta$, и результат интегрирования обозначается $B\zeta$.
Третье слагаемое теперь тоже понятно как преобразуется.

[Evgenii2012]

svv, большое спасибо за Ваше мнение. Хотя я (уже после поста) примерно понял, как всё получается ) Но всё равно хотел получить альтернативное мнение от коллег. Остаётся заметить, что равенство $f(1/z)=(\overline{f}(z))^{-1},$ вроде бы, не имеет места: тут нужна не чёрточка, а тильда - Вы не находите ? Я имею в виду, что операция сопряжения комплексной функции не имеет отношения к этому равенству.

[svv]

Да, конечно, никакого сопряжения тут не имеется в виду. В Вашем издании книги определение $\bar f$ вводится в самом верху страницы 93: $\bar f(z)=1/f(\frac 1 z)$ . Вы же не пропустили его?
Видимо, Альфорс полагал, что это обозначение не будет спутано с комплексным сопряжением, потому что сопряжение — это вот так: $\overline{f(z)}$.
В английском втором издании, очевидно, подумали, что разница опасно мала, и заменили bar $\bar f$ на breve $\breve f$.

P.S. Возможно, у меня просто плохой скан русскоязычного издания, и там везде тильда. Показываю под микроскопом, с чем приходится работать:

[Padawan]

(Оффтоп)

Evgenii2012 в сообщении #1512889 писал(а):

большое спасибо за Ваше мнение

Это не мнение, а знание. Вы, когда студентам теорему доказываете тоже начинаете ее словами "по моему мнению"?