Разные многочлены над бесконечным полем

[EminentVictorians]

Винберг, стр.129 писал(а):

Теорема 1.Если поле $K$ бесконечно, то разные многочлены от $n$ переменных над $K$ определяют разные функции
Доказательство.Как и в случае многочленов от одной переменной (см. доказательство теоремы 1.1), достаточно доказать, что ненулевой многочлен определяет ненулевую функцию. Докажем это индукцией по $n$.
При $n = 1$ это составляет содержание теоремы 1.1. Предположим, что многочлен $f \in K[x_1, ... , x_n]$ ($n >1$) определяет нулевую функцию. Представим его в виде (13) и придадим какие-то значения переменным $x_2, ... , x_n$. Мы получим многочлен от одной переменной $x_1$ с коэффициентами из $K$, обращающийся в нуль при любом значении $x_1$. По теореме 1.1 все его коэффициенты равны нулю. Таким образом, каждый из многочленов $f_k \in K[x_1, ... , x_n]$ обращается в нуль при любых значениях $x_2, ... , x_n$, т.е. определяет нулевую функцию. По предположению индукции отсюда следует что $f_k = 0$ при любом $k$; но тогда и $f = 0$.

У меня есть подозрение по поводу этого доказательства. Теорема 1.1 была о том, что разные многочлены от одной переменной над бесконечным полем определяют разные функции. Из нее следует, что ненулевой многочлен от одной переменной над бесконечным полем не может являться тождественно нулевой функцией. В этом доказательстве, которое в цитате, теорема 1.1 используется существенным образом. Я думаю, индукцию по $n$ корректно использовать, если при $n = 1$ у нас гарантированно получается ненулевой многочлен. Но откуда это следует? Если у нас есть ненулевой многочлен от нескольких переменных $x_1, ... , x_n$ и мы придали переменным $x_2, ... , x_n$ пусть даже ненулевые значения, то где гарантия, что обязан получиться ненулевой многочлен от одной переменной $x_1$? Этого момента в доказательстве нету, и мне кажется, что это логическая ошибка.

[iifat]

EminentVictorians в сообщении #1512756 писал(а):

и мы придали переменным $x_2, ... , x_n$ пусть даже ненулевые значения

Где ж мы придали им хоть какие-то значения? Мы записали многочлен как многочлен от переменной $x_1$ с коэффициентами, являющимися многочленами от прочих переменных. Поскольку этот многочлен нулевой на области определения, все его коэффициенты нулевые на своих областях определения — а стало быть, по предположению индукции, тождественно нулевые.

[EminentVictorians]

iifat в сообщении #1512763 писал(а):

Поскольку этот многочлен нулевой на области определения

Мне совсем не очевидно, что этот многочлен нулевой на своей области определения. Можете объяснить, как Вы это получили?

[iifat]

Дык это же наш исходный, только слагаемые перегруппированы.

[EminentVictorians]

iifat в сообщении #1512785 писал(а):

Дык это же наш исходный, только слагаемые перегруппированы.

Не соглашусь. Исходный многочлен был из алгебры $K[x_1, ... , x_n]$ (которая над полем $K$), а новый (у которого коэффициенты - многочлены от $x_2, ... , x_n$) - из алгебры $K[x_2, ... ,x_n][x_1]$ (которая над кольцом $K[x_2, ... ,x_n]$). Это разные многочлены.

[iifat]

EminentVictorians в сообщении #1512787 писал(а):

Это разные многочлены

Будьте проще, и люди к вам потянутся
Многочлен многолик, знаете ли. Многочлен есть функция определённого вида — либо запись определённого вида безотносительно к функциям. Так вот, запись как многочлена с коэффициентами — она таки да, из другой алгебры; однако ж функции эти два многочлена определяют очевидным образом одинаковые. А поскольку мы пытаемся рассматривать многочлен именно как функцию (коли уж взялись проверять, равна ли она нулевой и при каких условиях), то...

[arseniiv]

А что за многочлены $f_k$ и $k$?

[arseniiv]

Для многочлена $p \in K[x_1, \ldots, x_n]$ будем обозначать соответствующую ему функцию $K^n \to K$ как $[\![ p ]\!]$. Тождественно нулевую функцию будем обозначать $\operatorname{const} 0$ Теорема 1.1 говорит, что для бесконечного поля $K$ мы имеем $p = 0 \Leftrightarrow [\![ p ]\!] = \operatorname{const} 0$.

Перейдём к индуктивному переходу интересующего доказательства. Предположим, что $[\![ f ]\!] = \operatorname{const} 0$. Тогда функция $x \mapsto [\![ f ]\!](x, X_2, \ldots, X_n)$, $X_i \in K$, тоже нулевая. Вид (13), как понимаю, это естественный изоморфизм между $K[x_1, \ldots, x_n]$ и $(K[\ldots, x_n])[x_1]$. Последний многочлен имеет вид $\tilde f = \sum_{k = 0}^m f_k x_1^k$, как понимаю. Этому многочлену соответствует функция $[\![ \tilde f ]\!] \colon K[\ldots, x_n] \to K[\ldots, x_n]$, но заметим, что нам не нужен сам $\tilde f$. Мы подставляем $x_2 = X_2, \ldots, x_n = X_n$ в $f$ (эквивалентно в $\tilde f$) и получаем многочлен ну скажем $g \in K[x]$, один и тот же для обоих случаев (кучку формальных доказательств свойств подстановок может понадобиться написать самому или взять в каком-то более техническом изложении), с коэффициентами $A_k = [\![ f_k ]\!](X_2, \ldots, X_n)$. А вот $[\![ g ]\!]$ упомянута выше — это ограничение $f$ на множество $K \times \{ (X_2, \ldots, X_n) \}$. И тут надо ещё покрутить, но надеюсь я вывел вас из многочленов над $K[x_2, \ldots, x_n]$. Был бы день получше — может быть бы до конца довёл, но голова не соображает.

-- Вс апр 04, 2021 21:31:21 --

В общем нужно использовать связь между подстановкой элементов поля постоянных многочленов в многочлен и частичным применением полиномиальной функции. Лень думать как она там в точности формально записывается, должна выводиться из головы сама собой.

[EminentVictorians]

arseniiv в сообщении #1512827 писал(а):

А что за многочлены $f_k$ и $k$?

Многочлен $f$ был представлен в виде $f(x_1, ... , x_n) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}f_k(x_2, ... ,x_n)x_1^k$. На знак бесконечности можно сильно не обращать внимание : Винберг определяет многочлены формально, как бесконечные суммы, в которых лишь конечное число членов не равно нулю. Проще говоря, это просто разложение $f$ по степеням $x_1$.

iifat в сообщении #1512818 писал(а):

Многочлен есть функция определённого вида — либо запись определённого вида безотносительно к функциям.

Я считаю многочлен записью определенного вида, а не функцией. Но его можно рассматривать и как функцию. На сколько я понимаю, если задано кольцо $K$ и многочлен $f \in K[x_1, ... ,x_n]$, то многочлен рассматривается как функция $K^n \to K$. Но это не обязательно, и вместо $K$ можно взять, например, какое-нибудь его подкольцо. Поэтому не очень было понятно, как какую функцию Вы рассматриваете тот первоначальный многочлен из из алгебры $K[x_2, ... ,x_n][x_1]$: то ли определенную на $K$, то ли определенную на $K[x_2, ... ,x_n]$.

iifat в сообщении #1512818 писал(а):

А поскольку мы пытаемся рассматривать многочлен именно как функцию (коли уж взялись проверять, равна ли она нулевой и при каких условиях), то...

Как функцию $K^n \to K$ насколько я понял из Вашего контекста. А что дальше делать?

[arseniiv]

EminentVictorians в сообщении #1512836 писал(а):

На знак бесконечности можно сильно не обращать внимание : Винберг определяет многочлены формально, как бесконечные суммы, в которых лишь конечное число членов не равно нулю.

(Да, это удобно.)

[EminentVictorians]

arseniiv в сообщении #1512835 писал(а):

Теорема 1.1 говорит, что для бесконечного поля $K$ мы имеем $p = 0 \Leftrightarrow [\![ p ]\!] = \operatorname{const} 0$.

Не совсем. Теорема 1.1 утверждает, что разные многочлены от одной переменной над бесконечным полем определяют разные функции (если их рассматривать как функцию каноническим образом).

arseniiv в сообщении #1512835 писал(а):

И тут надо ещё покрутить, но надеюсь я вывел вас из многочленов над $K[x_2, \ldots, x_n]$.

Поправьте, если я что-то не так понял. Был ненулевой (как многочлен) многочлен $f \in K[x_1, ... ,x_n]$ и он был тождественно нулевой функцией $K^n \to K$. Мы хотим доказать, что такого не может быть. Дальше его разложили по степеням $x_1$ и получился многочлен $h \in K[x_2, ... , x_n][x_1]$. Придали переменным $x_2, ... , x_n$ значения $X_1 , ... , X_n$ ($X_i \in K$) (я думаю имелось в виду, что все из них, или по крайней мере, один из них отличен от нуля). И теперь можно рассматривать функцию от $x_1$, которая $K \to K$ и которая тождественно нулевая. Пока все правильно?

[arseniiv]

EminentVictorians в сообщении #1512842 писал(а):

Не совсем. Теорема 1.1 утверждает, что разные многочлены от одной переменной над бесконечным полем определяют разные функции (если их рассматривать как функцию каноническим образом).

А, ну в общем тут-то всё равно используется только часть про ноль. Я хотел просто пояснить обозначение для функции и для того переписал то, что автор говорит про эту теорему, в новых обозначениях.

EminentVictorians в сообщении #1512842 писал(а):

Был ненулевой (как многочлен) многочлен $f \in K[x_1, ... ,x_n]$ и он был тождественно нулевой функцией $K^n \to K$. Мы хотим доказать, что такого не может быть.

(Думаю, тут и без метода от противного сойдёт — просто если была нулевая полиномиальная функция, то надо получить, что соответствующий ей многочлен тоже нулевой. Но почти всё доказательство никак от того, от противного или нет, здесь не должно бы измениться.)

EminentVictorians в сообщении #1512842 писал(а):

И теперь можно рассматривать функцию от $x_1$, которая $K \to K$ и которая тождественно нулевая. Пока все правильно?

Да, правда на этом месте я тоже застрял. (Но у меня сегодня неподходящий день для думания, какая-то ерунда лезет и ещё как будто продуло.) Нам надо бы получить, что полиномиальные функции $[\![ f_k ]\!] = \operatorname{const} 0$, оттуда по индуктивному предположению получить $f_k = 0$ и уж отсюда быстро получить $f = 0$. Но как — гм, может быть описание доказательства не самое лучшее, и вместо подстановки произвольных $X_2, \ldots, X_n$ надо представить что-то другое… Мне уже показалось, что нам надо наоборот подставлять что-нибудь (или все элементы $K$) вместо $x_1$.

[EminentVictorians]

arseniiv в сообщении #1512845 писал(а):

Нам надо бы получить, что полиномиальные функции $[\![ f_k ]\!] = \operatorname{const} 0$, оттуда по индуктивному предположению получить $f_k = 0$ и уж отсюда быстро получить $f = 0$.

Вроде бы получилось.

Я попробую сформулировать индукцию прозрачным образом.
Основное утверждение, которое мы хотим доказать - $\forall n \in \mathbb{N}$ ($f \in K[x_1, ... , x_n] \ne 0 \Rightarrow (\exists (x_1, ... , x_n) \in K^n) [\![ f(x_1, ... , x_n)]\!] \ne 0)$

При $n = 1$ это содержание теоремы 1.1
Пусть утверждение верно при $n = k$. Докажем, что оно верно при $n = k +1$.

Возьмем произвольный многочлен $f$ от $k+1$ переменных и рассмотрим его как многочлен от одной переменной $x_1$ с коэффициентами - многочленами от $k$ переменных. Каждый из этих многочленов-коэффициентов представляет собой ненулевой многочлен. По индуктивному предположению, все эти многочлены-коэффициенты являются не тождественно нулевыми функциями. Т.е. для любого многочлена-коэффициента существует упорядоченный набор из $k$ элементов поля, при котором этот многочлен превращается в ненулевой элемент поля.

Никто не дает гарантию, что найдется "общий" упорядоченный набор элементов поля, при котором все эти многочлены коэффициенты превращаются в ненулевые элементы поля. Но есть гарантия, что найдется упорядоченный набор, при котором хотя бы один из этих многочленов коэффициентов превращается в не-ноль. И этот упорядоченный набор не является тождественно нулевой строкой.

Тогда если подставить этот ненулевой набор вместо всех переменных кроме $x_1$, мы получим ненулевой многочлен от $x_1$. По базе индукции найдется элемент, при котором этот многочлен примет ненулевое значение. Добавим этот элемент в упорядоченный набор на первое место и все: значение многочлена $f$ при этом наборе будет ненулевым, чтд.

[nnosipov]

Достаточно считать $K$ бесконечной областью целостности (не обязательно полем). У Винберга в его "Алгебре многочленов" так и делается (см. теорему 4 на стр. 79).