Формулу Эйнштейна без тензоров

[nestoklon]

Pi в сообщении #150932 писал(а):

И поэтому вы имели ввиду Дирака или АДМ

Потому, что я доверяю Мизнеру, Торну и Уилеру, указавшим именно этих авторов. Русскоязычное вряд ли -- никому не надо. Поновее тоже -- ничего существенно нового в этой области за прошедшее время не сделали.
Можете ещё попробовать посмотреть книжку Фока про гравитацию -- может там что есть.

[AlexNew]

[quote = "nestoklon"]
тем же, чем любая другая математическая абстракция. Позволяет короче выразить сложные вещи.
[/quote]
[quote = "Munin"]
Именно общностью. Как и любые достаточно мощные инструменты. Собственно, чем хороши тензоры рядом с векторами? тем, что на 4 измерения легко обобщаются. Вот и тут так же.
[/quote]
нельзя ли немного конкретнее, причем не детали а скорее какой-нибудь глубинный смысл, тайну природы раскройте (в книжке конечно об этом пишут на он будет видет только если все прочитать и во всем разобратся досконально ).

вот например тензор хорошь тем что позволяет:
1) описывать несколько векторных величин одним махом
2) выступает в качестве оператора действуещего на вектора, вращает например,..

Вектор хорош тем что живем мы в 4х мерном (или 3х мерном, кто как) пространстве, и точку в этом пространстве можно характеризовать одной сущностью - вектором ,
тоесть вектора там, где есть наборы чисел и простейшая симметрия при смене этих наборов, тезнзоры тудаже.[/quote]

[Munin]

Тензор хорош, например, тем, что позволяет дать общее описание геометрического объекта в точке. Вот например, мультипольное разложение (любой величины, хоть заряда, хоть поля, любой функции на сфере). Монополь описывается скаляром - постоянная функция по всей сфере. Диполь - вектором - одна полусфера в плюс, другая в минус. Квадруполь - уже тензором 2 ранга - от трёх до четырёх плюсов-минусов. Октуполь - тензор 3 ранга - от 4 до 8. И так далее. В пределе можно задать произвольную функцию, для этого потребуется тензор бесконечного ранга, но нужно редко.

[nestoklon]

AlexNew в сообщении #151040 писал(а):

вот например тензор хорошь тем что позволяет:
1) описывать несколько векторных величин одним махом
2) выступает в качестве оператора действуещего на вектора, вращает например,..

Боюсь, если вы считаете, что тензор хорош именно этим, я не смогу для вас сформулировать, чем хорошо внешнее произведение.
Повторю только, что это удобное абстрактное понятие, которое часто встречается. Почитайте википедию что ли для начала...

википедия писал(а):

In mathematics, the exterior product or wedge product of vectors is an algebraic construction generalizing certain features of the cross product to higher dimensions. Like the cross product, and the scalar triple product, the exterior product of vectors is used in Euclidean geometry to study areas, volumes, and their higher-dimensional analogs. In linear algebra, the exterior product provides an abstract algebraic basis-independent manner for describing the determinant and the minors of a linear transformation, and is fundamentally related to ideas of rank and linear independence.
...
The exterior algebra has notable applications in differential geometry, where it is used to define differential forms. A differential form at a point of a differentiable manifold is an alternating multilinear form on the tangent space at the point. Equivalently, a differential form of degree k is a linear functional on the k-th exterior power of the tangent space. As a consequence, the wedge product of multilinear forms defines a natural wedge product for differential forms. Differential forms play a major role in diverse areas of differential geometry.

[AlexNew]

nestoklon писал(а):

Боюсь, если вы считаете, что тензор хорош именно этим, я не смогу для вас сформулировать, чем хорошо внешнее произведение.

вы не переживайте за меня сформулируйте чем тензор хорош именно для вас!
(Munin сформулировал и получилось интересно, даже записал в свой сборник цитаток )

nestoklon писал(а):

Повторю только, что это удобное абстрактное понятие, которое часто встречается. Почитайте википедию что ли для начала...

Внешние формы
1) обобщают понятие векторного произведения (для n =/=3 )
Попрпбую пояснить: для n>3 нельзя задать вектор ориентирующий плоскость (так как он не единственный) однако можно поставить вектору в соответствие (сорентировать) подпространство (n-1) измерений.
Наверное можно построите теоремы вектеорного анализа (связ. 3х мерное и 2х мерное измерения) на этой основе для любого числа измерений.

Однако не понятно где именно и зачем это нужно ????

2) внешние формы связаны с определителем, тоесть обьемом.
Опять не понятно зачем внешние формы если уже есть детерминанты.

nestoklon я не знаю что вы понимаете под словом абстрактное мат понятие, ндеюсь не полностью безполезное понятие для красного словца?

раcскажите конкретно, чем хороши внешние формы в физике ?????
какие вычисления они упрощают и почему, или какую глубинную связь описывают??

[nestoklon]

Я специально выделил "abstract algebraic basis-independent". Именно в этом смысле я использую понятие "абстрактный".

1) Самый тривиальный пример -- обобщение теорем типа Гаусса-Остроградского на произвольное число измерений. Вот берёте вы объём и хотите по нему проинтегрировать. Что под знаком дифференциала писать будете? А как запишете поверхность от этого объёма и интеграл по ней? А так чтобы в произвольной конечной размерности и без явного указания базиса?
2) Никто не заставляет. Зачем эти дурацкие вектора, когда можно все формулы замечательно записывать в координатах? А что? Фиксировали базис и вперёд!

Ещё раз, что такое абстрактное понятие и зачем оно надо. Иногда бывает полезно абстрагироваться от большинства свойств конкретного объекта, сконцентрировавшись на важнейших. Так появляются абстрактные понятия -- "группа", "поле", "алгебра", и другие. Поле комплексных чисел -- понятие конкретное. Поле как математический объект -- понятие абстрактное. На кой чёрт оно вообще нужно, -- спросите вы, -- если мы можем замечательно описать всё что угодно пользуясь понятием комплексных чисел? И мне будет нечего вам ответить.

[Munin]

AlexNew в сообщении #151184 писал(а):

Опять не понятно зачем внешние формы если уже есть детерминанты.

Детерминант - число. Внешняя форма - геометрический объект. Например, на детерминант ничего не спроецируешь и не умножишь. Не путайте их.

AlexNew в сообщении #151184 писал(а):

Однако не понятно где именно и зачем это нужно ????

Ну непонятно и непонятно, не зацикливайтесь на этом. Мотивация того или иного раздела математики - обычно достаточно большая и глубокая часть этого раздела математики (и смежных с ним), так что становится вполне понятна в конце изучения, а не в начале. Если вам что-то не нужно - обходитесь без него.

[AlexNew]

nestoklon писал(а):

1) Самый тривиальный пример -- обобщение теорем типа Гаусса-Остроградского на произвольное число измерений. Вот берёте вы объём и хотите по нему проинтегрировать. Что под знаком дифференциала писать будете? А как запишете поверхность от этого объёма и интеграл по ней? А так чтобы в произвольной конечной размерности и без явного указания базиса?

вы повторили в точности мой (1) из прошлого поста....
однако не ответили на вопрос в конце зачем в физике эти теоремы для n>3

а еще не рассказали чем для вас хороши тензоры....

Munin писал(а):

обычно достаточно большая и глубокая часть этого раздела математики (и смежных с ним), так что становится вполне понятна в конце изучения, а не в начале.

Есть золотое безотказное правило, действует в 100% случаев:
"если вы не можете чтото изложить ясно и четко , то это говорит о вашем не знании предмета".
(хороший способ проверить свои знания и честно себе во всем признаться, ну а потом за учебу )

[nestoklon]

AlexNew в сообщении #151265 писал(а):

вы повторили в точности мой (1) из прошлого поста....

Повторюсь. Если вы не видите разницы между вашим п. (1) и "моим" п. (1), общего языка мы не найдём.
Вы стоите на том, что пространство трёхмерно и на фиг нам теоремы при других размерностях. Я (как и большинство математиков и заметная доля физиков-теоретиков) считаю, что если та или иная теорема/теория может быть сформулирована для произвольного числа измерений без существенного усложнения (а в данном конкретном случае с конкретными упрощениями -- вместо зоопарка теорем имеем одну), это должно быть сделано.

Если я начну объяснять, что тензоры это замечательное обобщение вектора как величины, преобразующейся по некоторым представлениям группы вращений ($D_{n}$), вы опять скажете, что это уже писали. Хотя ничего и близко написано не было. В лучшем случае спросите "ну и что?".
В общем, я не понимаю, какого рода ответа вы хотите.

Спросите что-то более конкретное, я вам отвечу.

[Sergiy_psm]

Pi в сообщении #150417 писал(а):

Вопрос по ОТО

А можно ли записать Уравнение Эйнштейна для гравитации в терминах дивиргенций. роторов, производных без использования тензоров на подобии Уравнении Максвелла?

Можно. Так например сделанно в статье

Arxiv писал(а):

"Gravitomagnetic effects"
M. L. Ruggiero, A. Tartaglia Dip. Fisica, Politecnico and INFN, Torino, Italy email: [e-mail], [e-mail] March 31, 2007

(статья у меня локально есть, а на arxive уже не нашел). Но есть существенное условие:

arxiv писал(а):

Einstein’s equations may be written in a very simple way, which leads straight to the analogy with Maxwell’s equations, if we consider the so called weak field approximation.

(выделение мое). На arxiv вы можете найти другие статьи по gravitomagnetic effects.

[Munin]

AlexNew в сообщении #151265 писал(а):

однако не ответили на вопрос в конце зачем в физике эти теоремы для n>3

А как по-вашему, со сколькимерным пространством имеет дело физика? Варианты ответа:
1. 3
2. 4
3. 1, 2, 3, 4
4. n
5. $\infty$
6. ничто из вышеперечисленного

[Pi]

Munin писал(а):

AlexNew в сообщении #151265 писал(а):

однако не ответили на вопрос в конце зачем в физике эти теоремы для n>3

А как по-вашему, со сколькимерным пространством имеет дело физика? Варианты ответа:
1. 3
2. 4
3. 1, 2, 3, 4
4. n
5. $\infty$
6. ничто из вышеперечисленного

6-ой пункт. принципиально

[Munin]

Pi
На этот раз вопрос был задан не вам.

[AlexNew]

nestoklon писал(а):

Повторюсь. Если вы не видите разницы между вашим п. (1) и "моим" п. (1), общего языка мы не найдём.

вы просто не поняли мой п.1... но это впрочем не важно.

nestoklon писал(а):

Вы стоите на том, что пространство трёхмерно и на фиг нам теоремы при других размерностях. Я (как и большинство математиков и заметная доля физиков-теоретиков) считаю, что если та или иная теорема/теория может быть сформулирована для произвольного числа измерений без существенного усложнения (а в данном конкретном случае с конкретными упрощениями -- вместо зоопарка теорем имеем одну), это должно быть сделано.

тоесть как я понимаю зачем это нужно кроме абстаракции ради абстракции вы не знаете?

nestoklon писал(а):

Если я начну объяснять, что тензоры это замечательное обобщение вектора как величины, преобразующейся по некоторым представлениям группы вращений ($D_{n}$), вы опять скажете, что это уже писали.

если бы вы немного разбирались в математике то знали что вектора и тензоры преобразуется не только по некоторым представлениям группы вращений,
групе вращения соответствует только очень специальный вид преоброзований - унитарные преоброзования. В общем случае надо учитывать метрику пространства.
Кстати вам вопрос: преобразование в криволинейных координатах (метрика евклидова) будет ли преоброзование происходить по группе вращений?

Добавлено спустя 4 минуты 55 секунд:

Цитата:

А как по-вашему, со сколькимерным пространством имеет дело физика? Варианты ответа:

зависит от конкретной проблемы.

Вопрос ведь был про формы, пока только я ответил на свой вопрос (и nestoklon примазался с умным видом )
(Насколько я понимаю форма позволяят записывать диферанциальные теореммы для n и n-1 измерений )
очевидно эти дифференциальные теоремы имеют смысл для описания какого нибудь потока, через гиперповерхность. Применение этой штуки очень специфическое, может сохранение чего нибудь во времени.
Неужеле больше ничего добавить по этому поводу нельзя? не молчите как партизаны

[Munin]

AlexNew в сообщении #151469 писал(а):

если бы вы немного разбирались в математике то знали

Не хамите. Вы не знаете, зачем нужны тензоры - и ставите себя выше человека, который знает?

AlexNew в сообщении #151469 писал(а):

зависит от конкретной проблемы.

Ответ не принимается. Вы настаивали на бесполезности форм, исходя из трёхмерности пространства. Отвечайте за свои слова.

AlexNew в сообщении #151469 писал(а):

Применение этой штуки очень специфическое

Применение этой штуки очень универсальное, о чём вы были бы в курсе, если бы вы немного разбирались в математике.