Вариационная формулировка разрывного метода Галеркина

[mak1610]

Доброго времени суток,

Сейчас пытаюсь разобраться в разрывном методе Галеркина (discontinuous Galerkin method) на примере уравнения диффузии с переносом на квадрате.

Пусть дано следующее уравнение на области $\Omega = (0, A) \times (0, 1) \times (0, 1)$
$\nabla \cdot J = \frac{\partial u}{\partial t}$, где $J = D \nabla u - \textbf{v} u$, $\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right)$ и заданным вектором скорости $\textbf{v}$ с заданным начальным условием $u(0, x) = u_0(x)$ и нулевым потоком $J = 0$ на границе $\partial \Omega$.

Временную координату я раскладываю по любому известному методу, например явным методом Эйлера, т.e.
$\frac{\partial u(t_i, x)}{\partial t} = u_t(t_i, x) = \frac{u(t_{i+1}, x)-u(t_{i}, x)}{\Delta t}$.

На каждом временном шаге для пространнственной координаты я выбираю метод Галеркина, тогда вариационная формулировка имеет следующий вид: для заданной триангуляции $\cup T_i = \Omega$ мы выбираем базис $w_j$ на каждом элементе $T_i$. Тогда вариационная формулировка имеет следующий вид
$(u_t, w_j) = (\nabla \cdot J, w_j) = \int_{\Omega} J \cdot \nabla w_j d x - \sum_{i} \int_{\partial T_i} J w_j \cdot \textbf{n}_i dS $.

И теперь идея метода состоит в том, чтобы правильно приблизить последий член с интегрированием по границе элементов $T_i$. Можете объяснить как представить этот член и, оказывается, этот член можно представить в разных формах для улучшения устойчивости численного метода. Но как это правильно выбрать - тут я не понимаю. Или может посоветуете какие-то ссылки?

Заранее благодарен за любую помощь!

[svv]

Так Вы же сказали, что на границе $\mathbf J=\mathbf 0$ (кстати, $\mathbf J$ вектор, и потому обозначен жирным). Пусть даже на $\partial\Omega$ выполняется более слабое условие $\mathbf J\cdot\mathbf n=0$. Не следует ли отсюда, что последний член обращается в нуль? (Вполне возможно, что я чего-то не понимаю.)

[mak1610]

svv в сообщении #1512649 писал(а):

Так Вы же сказали, что на границе $\mathbf J=\mathbf 0$ (кстати, $\mathbf J$ вектор). Пусть даже на $\partial\Omega$ выполняется более слабое условие $\mathbf J\cdot\mathbf n=0$. Не следует ли отсюда, что последний член обращается в нуль? (Вполне возможно, что я чего-то не понимаю.)

Не совсем, потому что сумма по границам всех элементов триангуляции. В нуль обращаются только члены по границе $\Omega$, те только некоторые члены из той суммы.

[svv]

Ну, а вклад в этот член от общей границы любых двух элементов (скажем, первого и второго) тоже равен нулю, потому что в каждой точке этой границы внешняя нормаль первого элемента и внешняя нормаль второго элемента противоположны, $\mathbf n_1+\mathbf n_2=0$, а $\mathbf J$ один и тот же.

[mak1610]

svv в сообщении #1512651 писал(а):

Ну, а вклад в этот член от общей границы любых двух элементов (скажем, первого и второго) тоже равен нулю, потому что на этой границе внешняя нормаль первого элемента и внешняя нормаль второго элемента противоположны, $\mathbf n_1+\mathbf n_2=0$, а $\mathbf J$ один и тот же.

Нет, в этом и суть разрывного метода Галеркина. Мы выбираем отдельный базис на каждом элементе и, вообще говоря, опускаем предположение непрерывности приближаемого решения. Может получиться так, что на границе элементов происходит скачок, тогда приходится приближать этот последний интеграл по границе элементов.

[svv]

Ок, понятно.