Система замыканий

[GlobalMiwka]

Здравтсвутйе.

Система $E$ подмножеств множества $A$ называется системой замыканий, если система $E$ замкнута относительно пересечений $\bigcap D \in E$ для любой подсистемы $D\subseteq E$. В частности, взяв $D=\varnothing$, видим,что $A$ всегда принадлежит $E$.

Не пойму, почему $A$ всегда принадлежит $E$ ?

[Mikhail_K]

Есть такое соглашение: если мы рассматриваем только подмножества множества $A$, то пересечение нулевого количества таких подмножеств есть само множество $A$.

Это просто соглашение, такое же как $0!=1$ например. В книге, которую Вы цитируете, оно должно приводиться где-то в начале.

Теперь дальше. $D=\varnothing$ здесь - это пустая система подмножеств множества $A$. В ней нет множеств. В силу приведённого соглашения, пересечение всех множеств из $D$ (т.е. нулевого количества множеств) равно $A$. С другой стороны, так как все множества из $D$ (которых нет) принадлежат $E$, то и $A\in E$.

==========

Пояснить разумность этого соглашения можно так.
Пусть есть подмножества $A_1,A_2,\ldots$ множества $A$.
Обозначим $X_n=A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n$.
Например, $X_1=A_1$, $X_2=A_1\cap A_2$, $X_3=A_1\cap A_2\cap A_3$.
Заметим, что $X_n=X_{n-1}\cap A_n$ для любого $n$. Например, $X_3=(A_1\cap A_2)\cap A_3=X_2\cap A_3$.
Полагая здесь $n=1$, получим что $X_1=X_0\cap A_1$. С другой стороны, $X_1=A_1$. Значит, "пересечение нулевого количества множеств" $X_0$ должно удовлетворять равенству $A_1=X_0\cap A_1$ для любого подмножества $A_1\subset A$. Ясно, что этому требованию удовлетворяет само множество $A$, так как $A_1=A\cap A_1$. Поэтому разумно положить $X_0=A$.

==========

Или ещё так.
Заметим, что если $A_1,A_2,\ldots\subset A$, то для любого $n$ имеем
$A_1\cap\ldots\cap A_n=A\cap A_1\cap\ldots\cap A_n$.
Полагая здесь $n=0$, в левой части получаем "пересечение нулевого количества множеств", в правой части получаем $A$.

[svv]

А объединение нулевого количества подмножеств $A$, по соглашению, есть пустое множество.