2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система замыканий
Сообщение02.04.2021, 21:55 


05/07/18
122
Здравтсвутйе.

Система $E$ подмножеств множества $A$ называется системой замыканий, если система $E$ замкнута относительно пересечений $\bigcap D \in E$ для любой подсистемы $D\subseteq E$. В частности, взяв $D=\varnothing$, видим,что $A$ всегда принадлежит $E$.

Не пойму, почему $A$ всегда принадлежит $E$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система замыканий
Сообщение02.04.2021, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4845
Есть такое соглашение: если мы рассматриваем только подмножества множества $A$, то пересечение нулевого количества таких подмножеств есть само множество $A$.

Это просто соглашение, такое же как $0!=1$ например. В книге, которую Вы цитируете, оно должно приводиться где-то в начале.

Теперь дальше. $D=\varnothing$ здесь - это пустая система подмножеств множества $A$. В ней нет множеств. В силу приведённого соглашения, пересечение всех множеств из $D$ (т.е. нулевого количества множеств) равно $A$. С другой стороны, так как все множества из $D$ (которых нет) принадлежат $E$, то и $A\in E$.

==========

Пояснить разумность этого соглашения можно так.
Пусть есть подмножества $A_1,A_2,\ldots$ множества $A$.
Обозначим $X_n=A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n$.
Например, $X_1=A_1$, $X_2=A_1\cap A_2$, $X_3=A_1\cap A_2\cap A_3$.
Заметим, что $X_n=X_{n-1}\cap A_n$ для любого $n$. Например, $X_3=(A_1\cap A_2)\cap A_3=X_2\cap A_3$.
Полагая здесь $n=1$, получим что $X_1=X_0\cap A_1$. С другой стороны, $X_1=A_1$. Значит, "пересечение нулевого количества множеств" $X_0$ должно удовлетворять равенству $A_1=X_0\cap A_1$ для любого подмножества $A_1\subset A$. Ясно, что этому требованию удовлетворяет само множество $A$, так как $A_1=A\cap A_1$. Поэтому разумно положить $X_0=A$.

==========

Или ещё так.
Заметим, что если $A_1,A_2,\ldots\subset A$, то для любого $n$ имеем
$A_1\cap\ldots\cap A_n=A\cap A_1\cap\ldots\cap A_n$.
Полагая здесь $n=0$, в левой части получаем "пересечение нулевого количества множеств", в правой части получаем $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система замыканий
Сообщение02.04.2021, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10909
Crna Gora
А объединение нулевого количества подмножеств $A$, по соглашению, есть пустое множество.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group