Теория структурных чисел

[PhisicBGA]

На обсуждение выносится теория структурных чисел, к которым отнесены степени натуральных чисел, построенная на основе самых общих положений. Она открывает нам естественную форму существования степеней, как структурных чисел (термин используется, как противоположность классической форме), где натуральные числа, как элементарные кирпичики строят очень интересную и удивительно регулярную внутреннюю структуру степеней. На основе этой теории, как обычно это делается в науке, находятся и объясняются их свойства.

Как известно, в математике понятие числа формализовано с помощью теории множеств. Множество - это исходное понятие неопределяемое через другие. Наоборот, многие понятия (например - числа) вводятся посредством множеств. В множество входят элементы объединённые неким общим свойством. Так, множество чисел полученное прибавлением единицы к предыдущему числу и равномерно расположенное на числовой оси в порядке возрастания образует множество натуральных чисел. Основным объединяющим элементом здесь является единица, с помощью которой и получаем равномерный бесконечный числовой ряд. Но множество натуральных чисел, как известно, не однородно: там есть простые числа и составные. Простые числа так же можно объединить в отдельное множество, но уже основным объединяющим свойством здесь будет их свойство делимости: только на единицу и само на себя. А существование у них какой либо единицы или единичной функции, дающей нам их распределение на числовой оси, является большой и интересной проблемой. Остаются составные числа, у которых трудно выделить единое объединяющее их свойство. Однако, среди них ярко выделяются степени натуральных чисел, которые имеют объединяющее их свойство, как по своей линейной структуре: они состоят из взаимно одинакового количества простых множителей, так и по существованию для каждой степени единицы, а точнее, единичной функции, которая даёт распределение этой степени на числовой оси. Вот по этому последнему объединяющему элементу: существованию для каждой степени единичной функции, мы можем смело выделить степени натуральных чисел в отдельное множество - множество структурных чисел, обладающих не только известной классической линейной структурой, но и более сложной, как мы потом узнаем, внутренней структурой, отличной от классической .

Как было сказано: в пространстве множества целых степеней натуральных чисел для каждой степени можно ввести базовую единицу, а, точнее, базовую функцию , такую, что каждая степень натурального числа получается из той же степени предыдущего числа путём прибавления к ней этой единичной функции. Назовём её базоном Ферма $n$ степени (от слова "базовый") и обозначим - $\Phi_x^n$.
Тогда по определению -

$$(x+1)^n = x^n + \Phi_x^n $$

Следовательно, базон Ферма находиться как -

$$ \Phi_x^n = (x+1)^n - x^n $$

Базоны Ферма - это те кирпичики, из которых строятся степени натуральных чисел. Они наполняют степени "математической массой", определяют их структуру.
Таким образом, структурные числа или степени натурального числа представляют собой сумму базонов Ферма для этой степени.

$$ x^n = \Phi_0^n +\Phi_1^n+...+\Phi_{x-1} ^n =\sum_{k=0}^{x-1}\displaystyle \Phi_k ^n $$

Теперь найдём явный вид базонов Ферма для различных степеней. Для квадратов и кубов они хорошо известны и легко находятся из бинома Ньютона. Для более высоких степеней их нахождение более трудоёмко. Например для 5 степени -

$$ \Phi_x^5=(x+1)^5-x^5=5x^4+10x^3+10x^2+5x+1=5x(x^3+1)+10x^2(x+1)+1=$$

$$ 5x(x+1)(x^2-x+1)+10x^2(x+1)+1=5x(x+1)(x^2-x+1+2x)+1=5x(x+1)[x(x+1)+1]+1=$$

$$1+5x(x+1)+5x^2(x+1)^2$$

Для степеней 7 ; 9 и выше трудоёмкость возрастает еще больше: надо же ещё правильно сгруппировать члены в многочлене.
Однако, можно найти более удобную формулу, чем бином Ньютона, связывающую базоны Ферма различных степеней.
Для этого воспользуемся всё тем же замечательным методом разложения степеней по квадратам натуральных чисел, в частности, разложением по единице.

$$(x+1)^n = (x)(x+1)^{n-2}(x+2) + (x+1)^{n-2} $$

$$(x)^n = (x-1)(x)^{n-2}(x+1) + (x)^{n-2} $$

Тогда

$$\Phi_x^n = (x+1)^n - x^n = \Phi_x^{n-2}[1+2x(x+1)] - x^2(x+1)^2 \Phi_x^{n-4} \eqno(1) $$

Более подробный вывод этой формулы, если понадобится, могу привести позже.

Теперь с помощью этой формулы не трудно найти явный вид базонов Ферма для различных степеней -

$$ \Phi_x^2 = (x+1)^2 - x^2 = 1+ 2x $$

$$ \Phi_x^3 = (x+1)^3 - x^3 = 1+3x(x+1) $$

$$ \Phi_x^4 = (x+1)^4 - x^4 = (1+2x)[1+2x(x+1)] $$

$$ \Phi_x^5 = (x+1)^5 - x^5 = 1+5x(x+1)+5x^2(x+1)^2 $$

$$ \Phi_x^6 = (x+1)^6 - x^6 = (1+2x)[1+4x(x+1)+3x^2(x+1)^2] $$

$$ \Phi_x^7 = (x+1)^7 - x^7 = 1+7x(x+1)+14x^2(x+1)^2+7x^3(x+1)^3 $$

Для анализа думаю достаточно. Мы видим, что базоны Ферма для чётных и не чётных степеней отличаются, и это является первым намёком на то, что в структурных числах имеет место нарушение симметрии по чётности т.е. внутренняя структура у степеней с чётными и не чётными показателями разная, в то время, как классическая линейная структура симметрична относительно четности показателя степени. Посмотрим - подтвердится ли это в дальнейшем.

Давайте рассмотрим базоны Ферма для чётных и не четных степеней по отдельности. Сначала рассмотрим - для не чётных степеней.

$$ \Phi_x^3 = (x+1)^3 - x^3 = 1+3x(x+1) $$

$$ \Phi_x^5 = (x+1)^5 - x^5 = 1+5x(x+1)+5x^2(x+1)^2 $$

$$ \Phi_x^7 = (x+1)^7 - x^7 = 1+7x(x+1)+14x^2(x+1)^2+7x^3(x+1)^3 $$

Не трудно видеть, что это многочлены ,элементами которых являются возрастающие степени двойной математической прогрессии - $x(x+1)$, с соответствующими коэффициентами. Причем, степень последнего элемента в базоне Ферма степени $n=2k+1$ будет - $k$. Следовательно, базон Ферма любой не чётной степени можно определить, найдя коэффициенты при соответствующих элементах его многочлена. Эти коэффициенты конечно можно найти из формулы $(1)$,но существует и другой способ - аналогичный "треугольнику Паскаля". Из известных коэффициентов строится числовой треугольник и его следующая горизонтальная строка находится из предыдущих значений методом "зигзага молнии ", что обычно рисуют в руках Зевса.

$$\Phi_x^{2k+1}---\begin{cases}1..\\.1+3.. \\1+.5+5.. \\1+.7+.14..+7.. \\1+9+!27+30!!+9\end{cases}$$

Так, что бы получить коэффициенты для базона Ферма девятой степени замечаем, что первый член в треугольнике всегда 1,а последний - равен значению степени. Предпоследний - получаем складывая все коэффициенты с двумя точками: $1+3+5+7+14=30$. Член перед ним - складывая все коэффициенты с одной точкой:$1+5+14+7=27$.И наконец второй член строки - аналогично:$1+7+1=9$
Точно так же получаем коэффициенты базона Ферма одиннадцатой степени - $1 ; 11 ; 44 ; 77 ; 55 ; 11 . $
Таким образом, имеем такую таблицу -

$$ \Phi_x^3 = 1+3x(x+1) $$

$$ \Phi_x^5 = 1+5x(x+1)+5x^2(x+1)^2 $$

$$ \Phi_x^7 = 1+7x(x+1)+14x^2(x+1)^2+7x^3(x+1)^3 $$

$$ \Phi_x^9 = 1+9x(x+1)+27x^2(x+1)^2+30x^3(x+1)^3 + 9x^4(x+1)^4 $$

$$ \Phi_x^{11} = 1+11x(x+1)+44x^2(x+1)^2+77x^3(x+1)^3 + 55x^4(x+1)^4 + 11x^5(x+1)^5 $$

Теперь остаётся один шаг до раскрытия внутренней структуры степеней с не четными показателями.
Однако, не нужно думать, что придётся находить коэффициенты у базонов Ферма таким образом. Это просто интересный промежуточный этап. Матушка природа хоть и хитроумна, но не злонамеренна, как говорил Эйнштейн.
Продолжение следует.

[Lia]

Будьте добры, в двух предложениях изложите предмет обсуждения. Кратко. Неужели Вы собрались посчитать биномиальные коэффициенты?
И чем провинились кванты, что Вы решили их припахать в таком внезапном месте?

[arseniiv]

PhisicBGA в сообщении #1510100 писал(а):

Как известно, в математике понятие числа формализовано с помощью теории множеств.

Не обязательно. Мы можем взять какую-нибудь достаточно выразительную теорию типов, в которой есть тип натуральных чисел со всеми принадлежностями (ноль, последующее число, индукция-рекурсия) и строить конструктивные числовые множества типы в этой теории типов.

[mathpath]

А числа Ферма к описанной структуре относятся ?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

-- 24.03.2021, 01:18 --

По крайней мере кванты исчезли, уже лучше. Но на вопрос: кому и зачем это нужно, Вы так и не ответили. Что Вы собираетесь получить? О чем тема?

[PhisicBGA]

Lia писал(а):

По крайней мере кванты исчезли, уже лучше. Но на вопрос: кому и зачем это нужно, Вы так и не ответили. Что Вы собираетесь получить? О чем тема?

Тема о более глубоком понимании значения степеней натуральных чисел, чем то, которое мы имеем сейчас в классической теории чисел: "Степень числа a с показателем n - это произведение n-ого числа множителей, каждый из которых равен числу a.
В целом можно сказать, что степень - это удобная форма записи большого количества равных множителей."
На самом деле, степени натурального числа - это третий более сложный тип натуральных чисел - структурные числа, наряду с простыми и составными числами. Когда количество всех простых множителей входящих в состав составного числа становится взаимно одинаковым, происходит качественный скачок - появляется новый тип натуральных чисел, с новыми свойствами и особенностями, наряду с общими для всех натуральных чисел. Имея стройную, логически не противоречивую теорию, мы можем найти эти новые свойства без всяких гаданий: числа сами нам расскажут о них.
Ну, а кому это нужно ?.. Что ж, поживём - увидим...

[mihaild]

(Оффтоп)

PhisicBGA в сообщении #1510804 писал(а):

числа сами нам расскажут о них

"Ну вот когда расскажут, тогда и приходите"

[PhisicBGA]

Продолжу. Что бы сделать последний шаг до выявления внутренней структуры степеней с не чётным показателем, необходимо найти значения степеней двойной математической прогрессии - $x^n(x+1)^n = (2S_1)^n$. И здесь нам поможет разность между соседними членами арифметической прогрессии.

$$x(x+1) - (x-1)x = 2x$$

$$x^2(x+1)^2 - (x-1)^2x^2 = 4x^3$$

$$x^3(x+1)^3 - (x-1)^3x^3 = 2x^3(3x^2+1)=6x^5+2x^3$$

$$x^4(x+1)^4 - (x-1)^4x^4 = 2x^5(4x^2+1)=8x^7+2x^5$$

$$x^5(x+1)^5 - (x-1)^5x^5 = 2x^5(5x^4+10x^2+1)=10x^9+20x^7+2x^5$$

Отсюда теперь не трудно найти значения $(2S_1)^n$ :

$$(2S_1)^1=2(1+2+...+x)$$

$$(2S_1)^2=4(1+2^3+...+x^3)=4S_3$$

$$(2S_1)^3=6(1+2^5+...+x^5)+2(1+2+...+x)=6S_5+2S_3$$

$$(2S_1)^4=8(1+2^7+...+x^7)+2(1+2^5+...+x^5)=8S_7+2S_5$$

$$(2S_1)^5=10(1+2^9+...+x^9)+20(1+2^7+...+x^7)+2S(1+2+...+x)=10S_9+20S_7+2S_5$$

Теперь, подставив эти значения в выражения для базонов Ферма не чётных степеней, получим окончательный вид этих базонов

$$ \Phi_x^3 = 1+3x(x+1) = 1+6S_1 $$

$$ \Phi_x^5 = 1+5x(x+1)+5x^2(x+1)^2 = 1+10S_1+20S_3 $$

$$ \Phi_x^7 = 1+7x(x+1)+14x^2(x+1)^2+7x^3(x+1)^3 = 1+14S_1+70S_3+42S_5 $$

$$ \Phi_x^9 = 1+9x(x+1)+27x^2(x+1)^2+30x^3(x+1)^3 + 9x^4(x+1)^4 =1+18S_1+168S_3+252S_5+72S_7 $$

$$ \Phi_x^{11} = 1+11x(x+1)+44x^2(x+1)^2+77x^3(x+1)^3 + 55x^4(x+1)^4 + 11x^5(x+1)^5 =1+22S_1+330S_3+924S_5+660S_7+110S_9 $$

Поскольку структурное число т.е. степень натурального числа представляет собой сумму базонов Ферма для этой степени, то теперь, имея окончательный вид базонов Ферма для не чётных степеней, мы можем получить их внутреннюю структуру.

$$x^3 = \sum_{k=0}^{x-1}\displaystyle \Phi_k ^3 = \sum_{k=0}^{x-1}\displaystyle (6S_1^k +1)=6\sum_{k=0}^{x-1}\displaystyle S_1^k +x $$

где

$$\sum_{k=0}^{x-1}\displaystyle S_1^k =\begin{cases}0\\1\\1+2\\1+2+3\\-----\\--------\\1+2+3+4+...+(x-1)\end{cases} $$

числовой треугольник $BGA(S_1^{x-1})$ - основа, ядро внутренней структуры третьей степени т.е. куба.
Тогда окончательно имеем -

$$x^3 = 6BGA(S_1^{x-1}) +x =2\binom{1}{3}BGA(S_1^{x-1}) $$

$$x^5 = 20BGA(S_3^{x-1})+10BGA(S_1^{x-1}) +x =2\binom{3}{5}BGA(S_3^{x-1})+2\binom{1}{5}BGA(S_1^{x-1}) + x $$

$$x^7 = 42BGA(S_5^{x-1})+70BGA(S_3^{x-1})+14BGA(S_1^{x-1}) +x =2\binom{5}{7}BGA(S_5^{x-1})+2\binom{3}{7}BGA(S_3^{x-1})+ $$

$$2\binom{1}{7}BGA(S_1^{x-1}) + x $$

Думаю, что закономерность понятна и теперь мы можем построить внутреннюю структуру любой степени с не чётным показателем:

$$x^n =2\binom{n-2}{n}BGA(S_{n-2}^{x-1})+2\binom{n-4}{n}BGA(S_{n-4}^{x-1}) +...+2\binom{1}{n}BGA(S_1^{x-1}) + x $$

где

$$\sum_{k=0}^{x-1}\displaystyle S_n^k =\begin{cases}0\\1\\1+2^n\\1+2^n+3^n\\-----\\--------\\1+2^n+3^n+4^n+...+(k-1)^n\end{cases} $$

числовой треугольник $BGA(S_n^{x-1})$,

а $n$ - не чётное натуральное число.

Остаётся выяснить, как будет выглядеть внутренняя структура степеней с чётным показателем степени.
Продолжение следует.

[Pphantom]

PhisicBGA, темы объединены. Может быть, вы все-таки попробуете перед созданием теорий освоить движок форума? Это не так уж сложно.

[PhisicBGA]

Продолжим. Думаю, что алгоритм нахождения внутренней структуры степеней в целом понятен. Поэтому перейдём сразу к итоговой формуле для внутренней структуры степеней с четными показателями. Она действительно отличается от формулы для степеней с не чётными показателями, хотя общая форма этих уравнений в общих чертах удивительным образом сохраняется. Я приведу сразу обе формулы, что бы было удобнее сравнивать:

$$x^n =2\binom{n-2}{n}BGA(S_{n-2}^{x-1})+2\binom{n-4}{n}BGA(S_{n-4}^{x-1}) +...+2\binom{1}{n}BGA(S_1^{x-1}) + x $$

$n$ - не чётное натуральное число.

$$x^n =2\binom{n-2}{n}BGA(S_{n-2}^{x-1})+2\binom{n-4}{n}BGA(S_{n-4}^{x-1}) +...+2\binom{2}{n}BGA(S_2^{x-1})+2S_1^{x-1} + x $$

$n$ - чётное натуральное число.

Таким образом, мы получаем первое свойство структурных чисел: у них имеет место нарушение симметрии по чётности показателя степени.
Второе свойство, которое здесь тоже - "как на ладони", это свойство степеней, о котором говорится в Малой теореме Ферма.
А вот третье свойство - самое интересное, о котором говорится в Великой теореме Ферма, запрятано так глубоко и искусно, что найти его не легко, но очень увлекательно.
Ключ от этой "тайны" находится в числовых треугольниках BGA - ядрах структурных чисел. В их удивительно красивой и регулярной числовой структуре зашифрован закон по которому происходит разложение в структурных числах. Учитывая потрясающую симметрию и регулярность самих структурных чисел достаточно расшифровать "язык чисел" в самом простом числовом треугольнике BGA - для куба и мы узнаем этот закон, построим цепочки разложений и найдём это свойство.
Понимаю, что звучит фантастично..., но - это уже реальность. Как подтверждающий пример:

PhisicBGA в сообщении #1507715 писал(а):

Как известно, разность двух соседних кубов может быть только кубом числа вида $6m+1$ т.е.

$$(a+1)^3 - a^3 =(6m+1)^3$$

. Так вот, из квантовой теории чисел следует - что бы это было возможным необходимо чтобы выполнялось равенство

$$\delta[12(m) + 2(\delta) + 1] = 6^2(m)^3$$

,где $\delta $ и $m$- произвольные числа.
Нетрудно видеть, что в целых числах оно не выполняется.

PhisicBGA в сообщении #1507900 писал(а):

Аналогичным образом, не трудно показать, что разность двух соседних чисел в 5-ой степени может быть только 5-я степень числа вида $10m+1$ т.е.

$$(a+1)^5 - a^5 =(10m+1)^5$$

Если это так, то в цепочках разложений должно быть такое звено:

$$ (a+1)^5 - (10m+1)^5 = (a)^5 - (10m)^5 + D$$

где $D$ - уравновешивающий разности остаток.
И в этом звене выполняется равенство

$$ D = (10m)^5$$

Так мы получаем условие при котором единичное приращение, т.е. разность соседних 5-х степеней, будет так же 5-ой степенью.

$$\delta[20(m) + 2(\delta) + 1][2 + (\delta + 10m+1)^2 + (\delta + 10m)^2] = 10^4(m)^5$$

,где $\delta $ и $m$- произвольные числа.

Нетрудно видеть, что в целых числах оно так же не выполняется.

И ещё одно интересное применение "теории структурных чисел". Оно было вызвано вот этим вопросом:

mathpath в сообщении #1510133 писал(а):

А числа Ферма к описанной структуре относятся ?

Как известно, числа Ферма - числа вида $F_n=2^{2^n}+1 , где n = 0,1,2,3.....$
Сами они к структурным числам не относятся, но в их состав входит степень двойки, которая структурным числом является.
С учётом этого факта было бы любопытно рассмотреть их с точки зрения теории структурных чисел.
Поскольку степени двойки входят в числа Ферма всегда с чётным показателем, то формула их внутренней структуры будет

$$2^m =2\binom{m-2}{m}(1)+2\binom{m-4}{m}(1) +...+2\binom{2}{m}(1)+2(1) + 2 $$

где $m = 2^n , n = 1,2,...$ - чётное натуральное число.
Единственное исключение - это как раз первое число.

$$n=0 , m = 1, F_0 = 2^1+1 = 3$$

Далее будет так:

$$n=1 , m = 2, F_1 = 2^2+1 = 2(1)+2+1 = 3+2 = F_0+2=5$$

$$n=2 , m = 4, F_2 = 2^4+1 = 2\binom{2}{4}(1)+2(1)+2+1 = 2(6)+3+2 = (3)(5)+2=(F_0)(F_1)+2=17$$

$$n=3 , m = 8, F_3 = 2^8+1 = 2\binom{6}{8}(1) +2\binom{4}{8}(1) +2\binom{2}{8}(1)+2(1)+2+1 = $$

$$2(28)+2(70)+2(28)+2(1)+2+1 =252+3+2=(3)(5)(17)+2=(F_0)(F_1)(F_2)+2=257$$

Похоже - это уже закономерность. Проверим

$$n=4 , m = 16, F_4 = 2^{16}+1 = (F_0)(F_1)(F_2)(F_3)+2=(3)(5)(17)(257)+2=65537$$

Ещё раз

$$n=5 , m = 32, F_5 = 2^{32}+1 = (F_0)(F_1)(F_2)(F_3)(F_4)+2=(3)(5)(17)(257)(65537)+2=4294967297$$

Не вероятно - каждое последующее число Ферма, как "матрёшка", содержит в себе предыдущие числа Ферма! Не знаю - известно ли в математике что то подобное, но похоже - это новый тип чисел : числа - "матрёшки".
Вот такие дела.

[lel0lel]

PhisicBGA в сообщении #1512199 писал(а):

Ещё раз

$$n=5 , m = 32, F_5 = 2^{32}+1 = (F_0)(F_1)(F_2)(F_3)(F_4)+2=(3)(5)(17)(257)(65537)+2=4294967297$$

Не вероятно - каждое последующее число Ферма, как "матрёшка", содержит в себе предыдущие числа Ферма!

Это следует из $2^{2^n}-1=(2^{2^{n-1} }-1)(2^{2^{n-1}}+1)$, то есть $F_n-2=F_{n-1}(F_{n-1}-2)$. Другими словами в основе тождества лежит невероятно красивая формула --- разность двух квадратов.

Касательно "матрёшечных чисел" -- вы можете сами придумать любое (линейное или нелинейное) рекуррентное соотношении, содержащее все предыдущие члены последовательности, задать начальные данные и получить соответствующую последовательность. Конечно, гарантии нет, что члены последовательности будут иметь столь же компактную форму записи как числа Ферма.

(Оффтоп)

Ради любопытства: почему вы выбрали следующий термин

PhisicBGA в сообщении #1510100 писал(а):

базонов Ферма

Он чересчур созвучен со словом бозон, и это только запутывает, ведь никакой связи со спином нет. Вместо того чтобы изменить всего лишь одну гласную, лучше придумайте совершенно новое слово. Например "забон".

[PhisicBGA]

lel0lel писал(а):

Это следует из $2^{2^n}-1=(2^{2^{n-1} }-1)(2^{2^{n-1}}+1)$, то есть $F_n-2=F_{n-1}(F_{n-1}-2)$. Другими словами в основе тождества лежит невероятно красивая формула --- разность двух квадратов.

Наконец-то слышу справедливую оценку формулы разности двух квадратов:" невероятно красивая формула ", а не "банальная формула сокращённого умножения". Полностью согласен: невероятно красивая и невероятно важная. В конечном счёте, и знаменитый метод факторизации Ферма, и интересная "матрёшечная " структура чисел Ферма, и сама теория структурных чисел основываются на замечательных свойствах этой формулы. Спасибо Вам за понимание и объяснение!
А что касается термина "базон Ферма", то ,конечно, он выбран не случайно. Он подчёркивает глубокую связь между числами и нашим материальным миром, о которой говорил ещё Пифагор: "Всё сущее в мире есть число". А это значит, что все свойства сущего мира имеют своё отражение в числе и его свойствах. Как "бозон Хигса" наполняет массой реальные частицы, так "базон Ферма" наполняет "математической массой" структурные числа т.е. степени натуральных чисел.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: исходный раздел слабо подходит для столь возвышенных рассуждений.