Найти значение

[Руст]

Пусть непрерывная функция удовлетворяет условию: $f(f(x))(1+f(x)^2)=f(x)$ и $f(3)=2$.
Найдите $f(0.5)$.

[VAL]

Руст писал(а):

Пусть непрерывная функция удовлетворяет условию: $f(f(x))(1+f(x)^2)=f(x)$ и $f(3)=2$.
Найдите $f(0.5)$.

0.4

[juna]

Пусть $f(x)=y$, тогда $f(f(x))(1+f(x)^2)=f(x)\to f(y)=\frac{y}{1+y^2}$
$f(0.5)=\frac{0.5}{1+0.5^2}=0.4$
Проверяем $f(2)=0.4$,$f(0.4)=\frac {10} {29}$
$f(0.4)(1+f(0.5)^2)=f(0.5)$
$\frac{10}{29}(1+z^2)=z$
$10z^2-29z+10=0$
$z=\frac{29\pm21} {20}=0.4(2.5)$
$f(3)=\frac{3}{1+3^2}=\frac{3}{10}=2$

[Руст]

Для полноты, после вычисления $f(2)=0.4,f(3)=2$ (последнее задано) используя непрерывность $f(x)$ надо заметит, что существует $2<x<3$, что $0.5=f(x)$.

[bot]

juna в сообщении #150845 писал(а):

Проверяем ...

Поначалу изумился на этом же месте, но потом сообразил, что $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$ для $x$ из области значений. В этом непрерывность и не нужна. Далее пришёл к тому, что она должна быть зарыта там, где сказал Руст, но реализуемость уже не проверял.

[Профессор Снэйп]

Руст писал(а):

Пусть непрерывная функция удовлетворяет условию: $f(f(x))(1+f(x)^2)=f(x)$ и $f(3)=2$.

А существует ли хотя бы одна такая функция?

[Руст]

Профессор Снэйп писал(а):

Руст писал(а):

Пусть непрерывная функция удовлетворяет условию: $f(f(x))(1+f(x)^2)=f(x)$ и $f(3)=2$.

А существует ли хотя бы одна такая функция?

Сколько угодно. Например $f(x)=0,x\le 0$, $f(x)=\frac{x}{1+x^2},0<x\le 2$, $f(x)=2,x>=3$, и $f(x)=g(x),2<x<3$ произвольная непрерывная функция, принимающая $g(2)=0.5,g(3)=2,0\le g(x)\le 2$.