Смещение перигелия орбиты по Ландау и Лифшицу

[KVV]

Как можно увидеть, в пар. 101 ЛЛ2 авторы при расчете смещения перигелия орбиты прибегают в подкоренном выражении (101.3) сначала к замене переменной $r(r-r_g)=r'^2$, а потом к разложению по степеням $\frac{r_g}{r'}$. Если не сделать замену переменной, а сразу разложить по $\frac{r_g}{r}$, полученное значение смещения перигелия будет ошибочным, в $\frac 4 3$ больше правильного.
Почему замена оказывается необходимой?

[svv]

Попробовал найти смещение перигелия без этой замены. Раскладывать по степеням $\frac {r_g}r$ выражение в (101.3), по-моему, тяжело. А вот формулу (101.5) можно трактовать в духе задачи 3 из ЛЛ1 "Механика", §15, стр.57. А именно, считать, что слагаемое $\frac{M^2r_g}{r^3}$ (возникающее при раскрытии скобок) обусловлено добавкой члена $\frac{\gamma}{r^3}$ к классической потенциальной энергии $U=-\frac{\alpha}{r}$.

Я воспользовался готовым ответом к задаче 3, подставил
$p=\frac{M^2}{m\alpha}$
$\alpha=\frac{mc^2r_g}{2}$
$\gamma=-\frac{M^2r_g}{2m}$
и получилась нужная поправка $\frac{3\pi m^2c^2r_g^2}{2M^2}$ .

Решение более общей задачи 3 (ЛЛ1, §15) описано яснее и выглядит более обоснованным, чем трюк ad hoc в ЛЛ2, §101.

[KVV]

Причем, если взять первообразную по $M$ от (101.5), считая $M$ в члене с кубом расстояния константой, а не переменной, как в члене с квадратом расстояния, то получится формула, аналогичная формуле в начале задачи 3 из §15 ЛЛ1. И естественно ответ по задаче 3 будет тот же, только конечно, теперь при дифференцировании по $M$ интеграла в формуле (1) задачи 3 снова $M$ в поправке надо считать константой.

Тем не менее трюк §101 ЛЛ2 любопытен. Хотелось бы понять, почему он необходим, если решать задачу так. В задаче 3 §106 ЛЛ2 они к нему снова прибегают, повторяя его суть - замена, чтобы привести член, содержащий $M^2$, к виду $M^2/r^2$. Но почему?

[KVV]

svv
Стало ясно. Оказывается, если не делать замену, то после разложения по степеням $\frac {r_g}r$ нужно учитывать в т.ч. члены третьего порядка, среди которых будет член $\frac{M^2r_g}{r^3}$. Если ограничиться только членами до второго порядка, ответ будет неправильный, в $\frac 4 3$ больше.
А если сделать замену, то членов до второго порядка достаточно. Причем после замены ненужные члены третьего порядка уже не содержат $M$.
Очевидно, что только при замене становится возможным дальнейший вывод по формулам между (101.6) и (101.7) ЛЛ2. Без замены этот элегантный вывод правильного ответа не получится (из-за члена $\frac{M^2r_g}{r^3}$).