Сравнимость мер Бернулли

[Polarny]

Доказать сравнимость продакт-мер бернулли $Ber(p_1)$ и $Ber(p_1)$ на $\left\lbrace 0,1 \right\rbrace^\mathbb{Z}$ при $p_1\leqslant p_2$ и что $Ber(p_1)\leqslant Ber(p_2)$ .

Как я понимаю, надо задать меру $\mu$ на $\left\lbrace 0,1 \right\rbrace^\mathbb{Z}\times \left\lbrace 0,1 \right\rbrace^\mathbb{Z}$ такую, что проекции равны исходным мерам, и $\mu (\xi_1\leqslant \xi_2)=1$.
Ну в качестве $\mu$ можно взять просто произведение мер. Как быть дальше?

[demolishka]

Для вероятностных мер если $\mu_{1}(A) < \mu_{2}(A)$, то $\mu_{1}(X \setminus A) > \mu_{2}(X \setminus A)$. Поэтому не ясно, что Вы собираетесь сравнивать.

[alisa-lebovski]

Непонятна терминология и постановка задачи. Но конечно, можно построить две бернуллиевские случайные величины на одном вероятностном пространстве, так чтобы одна была не больше другой, например, как индикаторы $\{U<p_i\}$, где $U$ равномерно на $(0,1)$. И так же можно сделать их бесконечное число.

[Polarny]

alisa-lebovski в сообщении #1511806 писал(а):

Непонятна терминология и постановка задачи.

В книге T. Ligget "Interacting Particle Systems" вводится такой порядок для мер.



И задача состоит в том, чтобы показать, что меры бернулли сравнимы. Я, конечно, могу что-то не так понимать. Тогда, буду очень признателен за разъяснения.

[Polarny]

Попробую описать свои "потуги".
$\Omega = \left\lbrace 0,1\right\rbrace^\mathbb{Z}$ можно рассматривать как бесконечные в обе стороны последовательности нулей и единиц, "занумерованные" целыми числами.
Тогда на $k$м месте единица находится с вероятностью $p_i$ и ноль с вероятностью $(1-p_i)$ соответственно для $Ber(p_i)$.
$\xi_k$ - случайная величина, равная значению последовательности на $k$м месте.
Рассмотрим цилиндр $I_k\subset \Omega$, состоящий из всех последовательностей, в которых на $k$м месте стоит единица. Тогда $Ber(p_i)(I_k)=p_i$
Здесь мы рассматриваем $\Omega\times\Omega=\left\lbrace 0,1\right\rbrace^\mathbb{Z}\times \left\lbrace 0,1\right\rbrace^\mathbb{Z}$, то есть пары описанных последовательностей, то есть на каждом $k$м месте находится пара чисел ноль или один.
Пусть $\xi$ - случайная величина на первой последовательности, $\eta$ - на второй.
Условие $\xi \leqslant \eta$ означает, что на каждом месте могут быть лишь пары: $(0,0),(0,1),(1,1)$.
Для доказательства сравнимости мне надо построить меру $\mu$ на $\Omega\times\Omega$, такую, что её проекции (маргинальные распределения) на каждый из сомножителей равны соответственно $Ber(p_i)$, и $\mu(\xi\leqslant\eta)=1$. Или $\mu(\xi>\eta)=0$.
Далее, я попробовал взять $\mu=Ber(p_1)\times Ber(p_2)$.
Рассмотрел цилиндр $J_k\subset \Omega\times\Omega$ таких пар последовательностей, где на $k$м месте стоит пара $(1,0)$, т.е. здесь $\xi_k<\eta_k$. А всё множество последовательностей с $\xi<\eta$ есть $\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}^{}J_k$.
Тогда $\mu(J_k)=p_1(1-p_2)$. Поэтому $\mu(\xi>\eta)\ne0$, и такая последовательность не подходит.
Нужна другая последовательность, или другая идея решения.
Прошу прощения, если написано сумбурно или если излагаю глупости. Долго уже сижу над этим упражнением, которое, вроде бы, не должно быть сложным.
Правильно ли я хотя бы рассуждаю? И в том ли направлении? Если да, то как быть дальше?

[alisa-lebovski]

Polarny в сообщении #1511848 писал(а):

Далее, я попробовал взять $\mu=Ber(p_1)\times Ber(p_2)$.

Произведением Вы делаете их независимыми, а нужны зависимые. Рассмотрите сначала набор пар $(0,0),(0,1),(1,1)$, какие им нужно приписать вероятности, чтобы удовлетворить условию задачи.

[Polarny]

Как я понимаю, вероятности в сумме должны давать $1$. Например, $P((0,0))=P((1,1))=\frac{1}{2},P((0,1))=0$.
Здесь какие-то конкретные числа должны быть, под которые потом $\mu$ строить надо? Такая идея?

[alisa-lebovski]

Polarny в сообщении #1511857 писал(а):

Как я понимаю, вероятности в сумме должны давать $1$.

Да, а кроме того, вероятность единицы для первой компоненты вектора $p_1$, а для второй $p_2$. Система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

[Polarny]

В виде таблицы?

$$\begin{pmatrix} \eta \setminus \xi & 1 & 0\\ 1& p_1 & p_2-p_1\\ 0& 0& 1-p_2 \end{pmatrix}$$

или глупая идея?

[alisa-lebovski]

Можно и в виде таблицы, если так нравится. Это будет мера для любых $\xi_k,\eta_k$, а по последовательности - произведение таких мер.