Стабильные отношения

[GlobalMiwka]

Здравствуйте.

В книге Мальцева: "Отношение $P (x_1, . . ., x_n)$ на множестве $A$ называетсястабильным относительно $m$-арной операции $F$, определенной на этом множестве, если для любых элементов $a_{i 1},a_{i 2}, . . ., a_{i n}$ $(i = 1, 2, . . ., m)$ множества $A$ из истинности отношений (1) $P (a_{i 1}, a_{i 2}, . . ., a_{i n})$ $(i = 1, 2, . . ., m)$ вытекает истинность отношения (2) $P (F (a_{11}, . . ., a_{m 1}), . . ., F (a_{1 n}, . . ., a_{mn}))$. Отношение $P$ называется стабильным на алгебраической системе $U$, если оно стабильно относительно каждой главной операции системы $U$".

Из записи получается, что первыми аргументами функций в выражении (2) могут быть только элементы из некторого истинного отношения $P (a_{11}, a_{12}, . . ., a_{1 n})$ и т.д.

Это обязательное требование или может быть какое-то иное распределние аргументов ?

[svv]

Рассмотрим для определённости бинарную ($m=2$) операцию $F$ и тернарное ($n=3$) отношение $P$.
Возьмём $mn$ произвольных элементов из множества $A$ (среди которых могут быть равные), запишем в виде матрицы $m\times n$:
$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}$

Внимание на строки. Допустим,
$P(a_{11},a_{12},a_{13})$ истинно,
$P(a_{21},a_{22},a_{23})$ истинно,
и так для каждой строки (у нас только две).

Внимание на столбцы. Для каждого столбца найдём результат операции $F$ и запишем его под чертой:
$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ \hline b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}$
где $b_1=F(a_{11},a_{21})\quad b_2=F(a_{12},a_{22}) \quad b_3=F(a_{13},a_{23})$

Будет ли истинным отношение $P(b_1, b_2, b_3)$
Да — если $P$ стабильно относительно $F$.
Не обязательно — в противоположном случае.

Итак, если для любых элементов $a_{ik}$, для которых $P$ истинно построчно,
оно также истинно для строки под чертой (содержащей постолбцовые результаты операции $F$),
говорят, что $P$ стабильно относительно $F$.

[vpb]

Самый простой пример, что такое стабильное отношение. Пусть система --- обычные числа (натуральные, вещественные и т.д.), отношение "меньше", а операция --- сложение. Отношение "меньше" устойчиво относительно сложения: если $a<b$ и $c<d$, то непременно $a+c<b+d$.

(Оффтоп)

А вообще стабильные "отношения" (как нынче это слово понимают) есть предпосылка к законному браку и деторождению.

[GlobalMiwka]

svv в сообщении #1510817 писал(а):

Внимание на строки. Допустим,
$P(a_{11},a_{12},a_{13})$ истинно,
$P(a_{21},a_{22},a_{23})$ истинно,
и так для каждой строки (у нас только две).

Внимание на столбцы. Для каждого столбца найдём результат операции $F$ и запишем его под чертой:
$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ \hline b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}$
где $b_1=F(a_{11},a_{21})\quad b_2=F(a_{12},a_{22}) \quad b_3=F(a_{13},a_{23})$

Будет ли истинным отношение $P(b_1, b_2, b_3)$

Для отношений и функций последовательность аргументов имеет значение. Допустим, что только 2 ваших отношения истинны. Теперь можем ли рассмотреть, например, $b_2=F(a_{22},a_{12})$ или $b_2=F(a_{12},a_{23})$ и почему бы при этом не оказаться $P(b_1, b_2, b_3)$ истиной ? Вопрос был, почему мы должны рассматривать только в такой последовательности $b_1=F(a_{11},a_{21})\quad b_2=F(a_{12},a_{22}) \quad b_3=F(a_{13},a_{23})$ ведь в функцию можно подставлять любые элементы множетсва $A$ ? Получается, что отношение требует (или мы требуем) использовать определенный порядок аргументов, а почему ? Потому что другие способы сложнее рассматривать, надо вводить дополнительные отношения между аргументами, чтобы что-то там искать? Стабильное отношение это типа аналог замкнутого можнества относительно некоторой операции, потому что это моножество можно рассматривать как отношение $P(x)$ равное истинному значению всякий раз, когда элемент принадлежит этому замкнутому множеству ? Указанный вами принятый порядок аргументов является более общим, что может использоваться в более сложных конструкциях или один из возможных способов? Яснее объяснить свой вопрос наверное уже не получится мне.

[arseniiv]

GlobalMiwka в сообщении #1510873 писал(а):

Вопрос был, почему мы должны рассматривать только в такой последовательности $b_1=F(a_{11},a_{21})\quad b_2=F(a_{12},a_{22}) \quad b_3=F(a_{13},a_{23})$ ведь в функцию можно подставлять любые элементы множетсва $A$ ?

Часто ситуация проясняется, будучи рассмотрена как частный случай более общего. Представьте, что у нас не один носитель $A$, а $n$ штук $A_i$; не одна функция, а $n$ функций $F_{i} \colon A_i^m \to A_i$, и отношение $R \subset A_1 \times \ldots \times A_n$. Тогда мы можем определить стабильность $R$ относительно $(F_1, \ldots, F_n)$ ровно так же как в первом посте, и теперь будет уже естественным не перемешивать аргументы функций, потому что они в общем случае из разных множеств. Увы, в таком случае мы всё ещё можем захотеть переставлять аргументы каждой функции по отдельности, но это тоже неестественно, но я не знаю, как лучше это показать. Подумайте о том, насколько осмысленно это может быть для произвольного выбора функций и насколько такое понятие «стабильности с перестановками» прагматично для доказательств (может оказаться сильнее и слабее чем удобно).

Вот вы там дальше подобные же причины и приводите.

[svv]

GlobalMiwka в сообщении #1510873 писал(а):

Теперь можем ли рассмотреть, например, $b_2=F(a_{22},a_{12})$ или $b_2=F(a_{12},a_{23})$ и почему бы при этом не оказаться $P(b_1, b_2, b_3)$ истиной ? Вопрос был, почему мы должны рассматривать только в такой последовательности $b_1=F(a_{11},a_{21})\quad b_2=F(a_{12},a_{22}) \quad b_3=F(a_{13},a_{23})$ ведь в функцию можно подставлять любые элементы множетсва $A$ ? Получается, что отношение требует (или мы требуем) использовать определенный порядок аргументов, а почему ?

Для ответа нужно уточнить, как Вы представляете альтернативное определение (это не совсем ясно). Пусть, как и раньше, $m=2, n=3$. Я вижу три принципиальных возможности:
1) Мы жёстко «вбиваем» в определение, например, что $b_2=F(a_{12},a_{23})$, и никак иначе.
2) Выражение для $b_2$ зависит от отношения $P$ и функции $F$, то есть для одного отношения берём всегда $b_2=F(a_{12},a_{23})$, для другого $b_2=F(a_{11},a_{31})$ и так далее.
3) Для данных элементов множества $A$ мы проверяем все возможные способы подстановки этих элементов в функцию $F$. Важно, чтобы «подошёл» хоть один, в смысле истинности $P(b_1,b_2,b_3)$.
А что Вы имели в виду?

[GlobalMiwka]

Спасибо. После ваших примеров понял из каких соображений принято.