Дифференцирования и векторы

[Padawan]

Пусть $P\in\mathbb R^n$. Пусть $C^k(P)$ -- множество ростков вещественных функций класса $C^k$ в точке $P$. Дифференцирование в точке $P$ - это отображение $D\colon C^1(P)\to\mathbb R$ такое, что $D(\alpha f+\beta g)=\alpha D(f)+\beta D(g)$ и $D(fg)=f(P)D(g)+g(P)D(f)$ для всех $f,g\in C^1(P)$, $\alpha,\beta\in\mathbb R$.
Есть теорема о том, что если мы $D$ будем рассматривать только на бесконечно дифференцируемых функциях (то есть заменим в определении выше $C^1(P)$ на $C^\infty(P)$, то $D$ является производной по направлению некоторого вектора: $D(f)=\frac{d}{dt} f(P+vt)\mid_{t=0}$, где $v$ -- некоторый вектор в точке $P$.
Вопрос в том, можно ли привести пример дифференцирования на $C^1(P)$, которое не является производной по направлению вектора. То есть достаточно придумать такую не тождественно равную нулю операцию дифференцирования на $C^1(P)$, которая была бы равна нулю на $C^\infty(P)$. Собственные попытки ни к чему не привели. Пытался доказать существование через теорему Хана-Банаха, но непонятно, как при продолжении $D$ учитывать правило Лейбница.

[vpb]

Пусть $n=1$, $P=0$. Каноническое дифференцирование --- это $d/dx\colon f\mapsto f'(0)$. Нам надо показать, что существует дифференцирование $D\colon C^1(0)\longrightarrow{\mathbb R}$, не пропорциональное каноническому.

Заметим, что $C^1(0)=\langle 1\rangle_{\mathbb R}\oplus\langle x\rangle_{\mathbb R}\oplus V$, где $V$ --- пространство ростков, которые $=o(x)$. Пусть $V_1$ --- подпространство тех из них, которые $=O(x^2)$. Возьмем любой функционал (линейный) $h\colon V\longrightarrow{\mathbb R}$, равный нулю на $V_1$, и положим $D(\alpha\cdot1+\beta\cdot x+v)=h(v)$ (где $\alpha,\beta\in{\mathbb R}$, $v\in V$).

(Если я правильно понял постановку задачи, что не факт...).

[Slav-27]

Да, и вообще несложно доказать следующее: пусть $A$ -- коммутативная алгебра с единицей над полем $k$ с единственным максимальным идеалом $\mathfrak m$, причём естественное отображение $k\to A/\mathfrak m$ -- изоморфизм, тогда пространство $k$-значных дифференцирований $A$ в $\mathfrak m$ (то есть линейных отображений $D:A\to k$, удовлетворяющих правилу Лейбница $D(fg)=D(f)g(\mathfrak m)+f(\mathfrak m)D(g)$, где $h(\mathfrak m)$ по определению есть образ $h$ в $A/\mathfrak m$) естественно изоморфно векторному пространству, двойственному к $\frak m/\frak m^2$.

Таким образом всё сводится к изучению $\mathfrak m/\mathfrak m^2$. А точнее говоря, к следующему вопросу. Пусть $f$ -- $C^1$-гладкая вещественнозначная функция, определённая на окрестности $0\in\mathbb R^n$, причём $f(0)=0, \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(0)=0$, $i=1,...,n$. Обязана ли она (возможно в меньшей окрестности нуля) раскладываться в конечную сумму $f=\sum g_ih_i$, где $g_i, h_i$ -- $C^1$-функции, равные 0 в нуле?