Расщепление уровней атома при образовании кристалла.

[FrankygoestoHd]

Здравствуйте, возник вопрос по поводу зонной теории твердого тела. В учебниках пишут, что при образовании кристалла происходит расщепление уровней на N уровней, образуя квазинепрерывную зону, так как N большое. Из уравнения Хартри-Фока, которое в приниципе строгое, выходит, что каждый из электронов должен испытывать свое поле, отличное от отсальных, так как все зависит от самосогласованного поля. Означает ли из учебника, что происходит расщепление уровня на каждом атоме N раз или имеется в виду расщепление всего N раз к примеру для определенной орбитали по одному разу для каждого атома из - за поля отсальных атомов но всего N раз в целом?

[madschumacher]

FrankygoestoHd в сообщении #1509458 писал(а):

или имеется в виду расщепление всего N раз к примеру для определенной орбитали по одному разу для каждого атома из - за поля отсальных атомов но всего N раз в целом?

Имеется в виду это. У Вас у каждого атома (грубо говоря) есть какая-то выбранная орбиталь. Если два атома взаимодействуют, то эти орбитали расщепляются на две: связывающую и антисвязывающую. Если добавить третий атом, то добавленная орбиталь даст ещё более сложную картину уровней, и т.д., в случае достаточно большого числа N, эту всю кашу удобнее будет описывать в терминах плотностей состояний, чем смотреть на отдельные орбитали.

И так со всеми орбиталями атома в той или иной степени, но расщепления будут большими только для валентной оболочки. Иными словами, остовные уровни будут испытывать очень маленькое влияние от соседних атомов, поэтому останутся практически нерасщеплёнными.

[FrankygoestoHd]

Спасибо за ответ! Остовные не искажаются в хорошем приближении так как заэкранированы валентными электронами.а как быть к примеру если есть куб из атомов 3 на 3 ? по идее по модулю поле действующее на электрон со стороны других электронов будет когда то вырождаться. Что же будет с уровнями? например если это атомы водорода. Есть 1 S орбиталь и на нее действуют остальные 8 1 S орбиталей соседей. Суммарное поле как в цравнении хартри фока, должно дать ее смещение. Для других таких же орбиталей остальных атомов это смещение будет разным. в итоге у нас будет всего в кристалле 9 разных 1 S орбиталей? Или нет?

[madschumacher]

FrankygoestoHd в сообщении #1509477 писал(а):

Остовные не искажаются в хорошем приближении так как заэкранированы валентными электронами.

Да не особо они то и заэкранированы, просто они очень сильно локализованы около ядра, так что не чувствуют соседние атомы.

FrankygoestoHd в сообщении #1509477 писал(а):

а как быть к примеру если есть куб из атомов 3 на 3 ? по идее по модулю поле действующее на электрон со стороны других электронов будет когда то вырождаться.

Ну естественно, если есть симметрия, то будут вырожденные состояния. Наверное стоит спросить amon как это всё называется и формализуется в случае бесконечных кристаллов. Я просто твёрдым телом не занимаюсь, поэтому такие моменты просто не знаю.

FrankygoestoHd в сообщении #1509477 писал(а):

Для других таких же орбиталей остальных атомов это смещение будет разным. в итоге у нас будет всего в кристалле 9 разных 1 S орбиталей? Или нет?

Вроде нет, из-за симметрии некоторые из них будут совпадать по энергии (но, естественно, будут выглядеть все по-разному). Но собственно, идея в том, что рассмотрение одноэлектронных уровней для бесконечных систем -- это гиблое и не продуктивное дело, поэтому заменяют это всё на описание в других терминах.

[FrankygoestoHd]

Спасибо большое! Я просто моделью Хаббарда - Мотта занимаюсь поэтому возник такой вопрос.

-- 16.03.2021, 12:59 --

amon, Извините а Вы не подскажете по поводу вопроса, поднимаемого в этой теме? Касательно расщепления в ограниченном кристалле.

[amon]

FrankygoestoHd в сообщении #1509496 писал(а):

не подскажете по поводу вопроса, поднимаемого в этой теме

А я, честно говоря, вопроса не понял. Исходная картинка такая. Есть потенциал, созданный периодической структурой атомов. Если кристалл бесконечный, то возникают разрешенные зоны. В большом, но конечном кристалле кроме этого возникнут поверхностные состояния. Модель Хаббарда - это приближенный учет взаимодействия между электронами. В этой науке про орбитали говорить как-то бессмысленно, поскольку электронов слишком много.

[FrankygoestoHd]

amon в сообщении #1509541 писал(а):

FrankygoestoHd в сообщении #1509496 писал(а):

не подскажете по поводу вопроса, поднимаемого в этой теме

А я, честно говоря, вопроса не понял. Исходная картинка такая. Есть потенциал, созданный периодической структурой атомов. Если кристалл бесконечный, то возникают разрешенные зоны. В большом, но конечном кристалле кроме этого возникнут поверхностные состояния. Модель Хаббарда - это приближенный учет взаимодействия между электронами. В этой науке про орбитали говорить как-то бессмысленно, поскольку электронов слишком много.

Здравствуйте, я имел ввиду, что в общем приближении периодического потенциала и волновых векторов, на отдельную грубо говоря орбиталь (любую из валентных) у определенного выбранного атома действует суммарное поле от остальных атомов состоящее из ядерных потенциалов и полей электронов. они действуют на выбранную орбиталь как суперпозиция и одновременно. В приближении бесконечного кристалла на каждый электрон действует одинаковое поле с учетом трансляционной симметрии. Но если это так, то почему говорят о N уровнях. Если атомы одного сорта то, смещение должно для каждой орбитали быть одинаковым и эта новая орбиталь будет вырождена N раз. Тогда как действует принцип Паули для N электронов, если эта орбиталь вырождена N раз?

[amon]

FrankygoestoHd, что-то мне кажется, что Вам надо внимательно прочитать какой-нибудь простой учебник по физике твердого тела, например, Займана. Забудем про электроны и орбитали, и рассмотрим прямоугольную потенциальную яму конечной глубины. Пусть в этой яме живет очень одинокий уровень энергии. Что бы как-то скрасить его существование, прилепим рядом еще одну такую же яму. Как учат классики естествознания (ЛЛ т.3 Квантовая механика, задача 3 к параграфу 50 "Прохождение через потенциальный барьер"), в системе станет два уровня, один чуть ниже, а другой - чуть выше исходного. Волновые функции, соответствующие этим уровням, в первом приближении есть симметричная и антисимметричная комбинации функций для одной ямы. Эти уровни соответствуют системе из двух ям, и не принадлежат ни одной яме в отдельности. Такие комбинации в химии называются орбиталями. Обращаю Ваше внимание, что пока никаких электронов нет, есть только места для них и состояния в которых они окажутся, если почтят нас своим присутствием.

Если теперь мы нагородим периодическую структуру из $N$ ям, то в системе из $N$ ям окажется $N$ уровней энергии. Для бесконечной периодической структуры мы получим непрерывный интервал разрешенных энергий. Теперь, если мы начнем сажать на эти $N$ ям невзаимодействующие электроны, то на один уровень сядет не более двух электронов (со спином вверх и спином вниз). При этом каждый такой электрон не принадлежит какой-то одной яме, но всей системе ям в целом. Теперь, если заменить "яма" на "атом без валентных электронов", то получится кристалл в приближении почти свободных электронов.

[FrankygoestoHd]

amon в сообщении #1509594 писал(а):

FrankygoestoHd, что-то мне кажется, что Вам надо внимательно прочитать какой-нибудь простой учебник по физике твердого тела, например, Займана. Забудем про электроны и орбитали, и рассмотрим прямоугольную потенциальную яму конечной глубины. Пусть в этой яме живет очень одинокий уровень энергии. Что бы как-то скрасить его существование, прилепим рядом еще одну такую же яму. Как учат классики естествознания (ЛЛ т.3 Квантовая механика, задача 3 к параграфу 50 "Прохождение через потенциальный барьер"), в системе станет два уровня, один чуть ниже, а другой - чуть выше исходного. Волновые функции, соответствующие этим уровням, в первом приближении есть симметричная и антисимметричная комбинации функций для одной ямы. Эти уровни соответствуют системе из двух ям, и не принадлежат ни одной яме в отдельности. Такие комбинации в химии называются орбиталями. Обращаю Ваше внимание, что пока никаких электронов нет, есть только места для них и состояния в которых они окажутся, если почтят нас своим присутствием.

Если теперь мы нагородим периодическую структуру из $N$ ям, то в системе из $N$ ям окажется $N$ уровней энергии. Для бесконечной периодической структуры мы получим непрерывный интервал разрешенных энергий. Теперь, если мы начнем сажать на эти $N$ ям невзаимодействующие электроны, то на один уровень сядет не более двух электронов (со спином вверх и спином вниз). При этом каждый такой электрон не принадлежит какой-то одной яме, но всей системе ям в целом. Теперь, если заменить "яма" на "атом без валентных электронов", то получится кристалл в приближении почти свободных электронов.

Спасибо за ответ! Я просто и имел ввиду, что происходи расщепление на уровни, размазанные по всему кристаллу, используя в качестве квантовых ям отельные атомы. Хартри Фок уравнение как раз накладывает взаимодействие на занятые в этих ямах на уровнях электроны.

[madschumacher]

FrankygoestoHd в сообщении #1509598 писал(а):

Хартри Фок уравнение как раз накладывает взаимодействие на занятые в этих ямах на уровнях электроны.

Ну что Вы в самом деле к Хартри-Фоку привязались? Там чтобы эти уравнения решить надо процедуру ССП осуществить, а она эти атомные орбитали так может перекрутить, что будь здоров, мать родная не опознает где что. Так что кто там на что влияет -- это очень муторная и непрозрачная вещь, которая просто из самих уравнений не следует.

[FrankygoestoHd]

madschumacher в сообщении #1509601 писал(а):

FrankygoestoHd в сообщении #1509598 писал(а):

Хартри Фок уравнение как раз накладывает взаимодействие на занятые в этих ямах на уровнях электроны.

Ну что Вы в самом деле к Хартри-Фоку привязались? Там чтобы эти уравнения решить надо процедуру ССП осуществить, а она эти атомные орбитали так может перекрутить, что будь здоров, мать родная не опознает где что. Так что кто там на что влияет -- это очень муторная и непрозрачная вещь, которая просто из самих уравнений не следует.

Согласен. Просто они физически правильные и как раз указывают на взаимодействие всего и вся.

[madschumacher]

FrankygoestoHd в сообщении #1509609 писал(а):

Просто они физически правильные и как раз указывают на взаимодействие всего и вся.

Если бы они были полностью физические правильные, то эти всякие DFT, и прочие заумные штуки, типа MP2, не требовалось бы изобретать и имплементить.