Задача о перывании подбрасывания монет

[dp]

Приветствую знатоков теории вероятности.
Вот в курсе встретилась задачка:

A coin is tossed until it gives either 10 heads or 10 tails. Player A bets on 10 heads and player B bets on 10 tails. The game is unexpectedly interrupted after 15 tossings with 8 heads and 7 tails observed. What would be the fair ratio to split the prize pool between player A and B? Consider it be the ratio of winnings probabilities of the players.
Мой перевод:
Монета бросается пока не выпадет или 10 орлов или 10 решек. Игрок А поставил на 10 орлов, а игрок Б на 10 решек.
После 15ти бросков они решили прервать игру. К этому моменту выпало 8 орлов и 7 решек.
Как будет честно разделить призовой фонд между А и Б? Отношение размеров выигрыша должно соответствовать отношению вероятнойстей выигрыша.

Я посчитал так:
игра может кончится победой для А при 6ти вариантах:
ОО
ОРО
РОО
ОРРО
РОРО
РРОО

а победой для Б при 4рех
РРР
ОРРР
РОРР
РРОР

то есть вроде как ответ должен быть 2/3

Но на самом деле ответ 5/11, так как по какой-то неведомой мне причиние считаются и те варианты, где один игрок уже выиграл, но монета бросается дальше до 4х бросков (самое долгое продолжение игры)
То есть вариант выигрыша для А - ОО это не один вариант, а 4ре ОООО ОООР ООРО ООРР
В результате у А получается 11 выигрышных вариантов, а у Б - 5 и ответ 5/11

Мой здравый смысл отказывался верить что "фантомные" броски могу влиять на вероятность, поэтому я проверил это быстренько на питоне и действительно получил вероятность 5/11=0.4545

# cat th.py
#!/usr/bin/python
import random

i=1
tott=0
toth=0
while i < 200000000:
    h=0
    t=0
    while h<2 and t<3:
        c=random.randint(0,1)
        if c == 0 :
           h+=1
        else:
           t+=1
    if h == 2 :
        toth+=1
    else :
        tott+=1
    if  i % 1000000  == 0 :
        print("i=%d" % i + " toth=%d" % toth + " tott=%d" % tott + " tott/toth=%f" % (tott/toth) ) 
    i+=1


# ./th.py
i=1000000 toth=687339 tott=312661 tott/toth=0.454886
i=2000000 toth=1375249 tott=624751 tott/toth=0.454282
i=3000000 toth=2063237 tott=936763 tott/toth=0.454026
i=4000000 toth=2750364 tott=1249636 tott/toth=0.454353
...............................
i=197000000 toth=135438999 tott=61561001 tott/toth=0.454529
i=198000000 toth=136126008 tott=61873992 tott/toth=0.454535
i=199000000 toth=136813620 tott=62186380 tott/toth=0.454534

Может ли кто-то мне объяснить на пальцах, чтобы мой "здравый смысл" понял почему надо учитывать в подсчете те варианты, где уже ясен победитель, но броски зачем-то продолжаются?

[arseniiv]

dp в сообщении #1509240 писал(а):

то есть вроде как ответ должен быть 2/3

Но это только если все ОР, ОРО, РОО, …, РРОР равновероятны, а они нет: ОР в два раза вероятнее ОРО и в четыре — РРОР. Так и выйдет 11 : 5 даже с этими исходами.

[ozheredov]

(Оффтоп)

arseniiv
Оппа, а почему ромашка засерилась? Или это глюки моего смарта?

[alisa-lebovski]

Я бы предложила считать не комбинаторно, а по вероятностям. т.е. вероятности О и Р по 1/2, и в силу независимости они перемножаются в каждом варианте, а потом произведения складываются.

[dp]

я понял сам так:

вероятность выпадения ОО и РРР не одинакова
так как при одинаковой вероятности выпадения ОО и РР чтобы получить РРР надо еще один бросок сделать
вероятность выпадения РРР будет равна вероятности выпадения ОО два раза

-- Пн мар 15, 2021 01:55:09 --

alisa-lebovski в сообщении #1509250 писал(а):

Я бы предложила считать не комбинаторно, а по вероятностям. т.е. вероятности О и Р по 1/2, и в силу независимости они перемножаются в каждом варианте, а потом произведения складываются.

да, так тоже можно:

вероятность выигрыша A :
ОО - 1/4
ОРО - 1/8
РОО - 1/8
ОРРО - 1/16
РОРО - 1/16
РРОО - 1/16

$\frac{1}{ 4 } + \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16} = \frac{11}{16}$

вероятность выигрыша B :
РРР
ОРРР
РОРР
РРОР
$\frac{1}{8}+\frac{3}{16}=\frac{5}{16}$

получаем отношение вероятностей $\frac{5}{11}$

[arseniiv]

dp в сообщении #1509273 писал(а):

вероятность выпадения РРР будет равна вероятности выпадения ОО два раза

Ну не прям два, ОООО выпадает снова реже, чем РРР. Но поняли вы всё правильно.

Собственно я те вероятности и складывал, которые вышли у вас по совету alisa-lebovski, но плохо наверно объяснил.