ММФ. Функция Грина. Плотность индуцированного заряда.

[grustniyelf]

Здравствуйте!

Задача по методам матфизики надо решать с помощью функции Грина.

Требуется найти плотность заряда, индуцированного на проводящей заземленной плоскости $z=0$ полубесконечной нитью $L$ с зарядом $q$ на единицу длины, если

$L=\left\lbrace x, y, z: 0<x, y=0, z=l\right\rbrace$

Уравнение Лапласа, по-видимому, выглядит так:

$\Delta u = 4 \pi q \frac{\delta (y) \delta (z-l)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

Дальше надо это интегрировать с функцией Грина:

$\int\limits_{0}^{+ \infty } 4 \pi q \frac{\delta (y) \delta (z-l)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}G(x,y,z) dx dy dz$

Так ли это?
Просто проболел тему, буду благодарен, если поможете разобраться.

[AnatolyBa]

grustniyelf в сообщении #1509079 писал(а):

Уравнение Лапласа, по-видимому, выглядит так:

Не думаю. Происхождение корня непонятно. Полагаю, там его не должно быть.
С интегралом какая-то неувязочка. Думаю, что функция Грина должна зависеть от двух точек.
И интеграл как-то не очень корректно записан. Я догадываюсь, что вы имеете в виду, но только догадываюсь.

[physicsworks]

grustniyelf в сообщении #1509079 писал(а):

Задача по методам матфизики надо решать с помощью функции Грина

Хорошо, вот и напишите функцию Грина для полупространства $z>0$ для вашей задачи (кстати, это задача Дирихле или Неймана?), используя метод изображений. Вам уже подсказали, что функция Грина зависит от двух точек (двух радиус-векторов). Одна из них "сканирует" область в которой ищется решение, другая соответствует радиус-вектору точечного источника помещенного над плоскостью. Каким условиям должна удовлетворять функция Грина? В частности, чему она должна равняться на заземлённой плоскости (граница области в которой ищется решение)? Если нулю, то как можно сконструировать эту функцию из фундаментального решения плюс гармоничной функции в искомой области? Правильно, нужно расположить заряд-изображение вне искомой области на таком расстоянии и такого знака, чтобы сумма из фундаментального решения и этой добавки удовлетворяла граничному условию. При этом по построению эта добавка будет гармоничной в искомой области поскольку заряд-изображение расположен вне области где ищется решение и это решение гарантированно единственное. После того, как функция Грина для полупространства $z>0$ найдена (ее можно сверить с той, что в учебнике), нужно аккуратно записать плотность зарядов на полубесконечный нити через дельта-функции. Затем потенциал в искомой области находится объемным интегрированием, а плотность индуцированных зарядов пропорциональна нормальной компоненте потенциала на границе области.

[physicsworks]

physicsworks в сообщении #1509437 писал(а):

нормальной компоненте потенциала

градиента потенциала, конечно.
спасибо amon за исправление.