Определить потенциал как функцию радиальной координаты.

[Kevsh]

Сфера радиусом $R$ равномерно заряжена положительным зарядом $Q$. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как функцию радиальной координаты, примите $\varphi (\infty) = 0$ (В моих расчетах $r$ - координата)
Я нашел зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось:
$E_r = \frac{Q}{4\pi r^2 \varepsilon_0}$ на промежутке от $R$ до $+\infty$, $E = 0$ на промежутке от 0 до $R$.
Далее начал рассчитывать потенциал:
$\varphi (r) - \varphi (\infty) = \int_r^{\infty}E_rdr$, следовательно $\varphi (r) = \int_r^{\infty}E_rdr$. Вот у меня и появилась мысль просто разбить все это дело на два случая, как я это делал при расчете напряженности. Первый случай $r > R$, ну значит, подумал я, интегрируем от $R$ до $+\infty$. Однако оказалось, что нужно интегрировать от $r$ до $+\infty$, указав, что $r > R$. Хорошо, подумал я, тогда при расчете потенциала внутри сферы мы получим два случая, внутри сферы ничего можно не рассчитывать, потому что там $E_r = 0$, а вот снаружи мы получаем наш первый интеграл. Но вот теперь, оказывается, интегрировать нужно от $R$ до $+\infty$, так что на выходе мы получаем не два одинаковых значения потенциалов, как я думал, а разные:
внутри: $\varphi (r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r}$, снаружи: $\varphi (r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R}$. Вот у меня и возник вопрос: почему все расчитывается таким образом?

[EUgeneUS]

Kevsh в сообщении #1508464 писал(а):

внутри: $\varphi (r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r}$, снаружи: $\varphi (r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R}$.

Наоборот.

Kevsh в сообщении #1508464 писал(а):

так что на выходе мы получаем не два одинаковых значения потенциалов, как я думал, а разные:

Что значит "два разных потенциала"?
И внутри, и снаружи это будут некие функции от $r$, может быть разные. При $r=R$ значения должны совпасть.

[Slav-27]

Вы считаете $\int\limits_r^\infty f(x)dx$, где с точностью до постоянного множителя $f(x)=\begin{cases}0\text{ при }0< x< R,\\\frac1{x^2}\text{ при }x> R.\end{cases}$. Нарисуйте график и поймите, какие площади вы считаете. У вас ошибка в знаке и неправильный ответ в конце.

[Kevsh]

Цитата:

Kevsh в сообщении #1508464 писал(а):

так что на выходе мы получаем не два одинаковых значения потенциалов, как я думал, а разные:

Что значит "два разных потенциала"?
И внутри, и снаружи это будут некие функции от $r$, может быть разные. При $r=R$ значения должны совпасть.

Просто получается, что функция внутри вообще не зависит от координаты, так как $R$ это константа, что для меня странно. Просто мы, получается, берем один и тот же интеграл два раза, но сначала говорим, что $r > R$ и интегрируем от $r$ до $\infty$, а второй раз прямо ставим $R$ в нижний предел интегрирования, почему так? Почему нельзя в первый раз тоже поставить R в нижний предел интегрирования?

-- 09.03.2021, 13:06 --

Slav-27 в сообщении #1508466 писал(а):

Вы считаете $\int\limits_r^\infty f(x)dx$, где с точностью до постоянного множителя $f(x)=\begin{cases}0\text{ при }0< x< R,\\\frac1{x^2}\text{ при }x> R.\end{cases}$. Нарисуйте график и поймите, какие площади вы считаете. У вас ошибка в знаке и неправильный ответ в конце.

Я начертил график $E_r(r)$, получается, что площадь под ним - потенциал, как я понял. Сначала это прямая, совпадающая с осью r. Потом в точке R начинается гипербола. Почему тогда потенциал от $0$ до $R$ не нулевой?

[Slav-27]

Правильно, хотя $y=\frac1{x^2}$ -- это, строго говоря, не гипербола.

Kevsh в сообщении #1508467 писал(а):

получается, что площадь под ним - потенциал, как я понял

$\varphi(r)$ -- это площадь какой конкретно фигуры?

[Kevsh]

Slav-27 в сообщении #1508469 писал(а):

Правильно, хотя $y=\frac1{x^2}$ -- это, строго говоря, не гипербола.

Kevsh в сообщении #1508467 писал(а):

получается, что площадь под ним - потенциал, как я понял

$\varphi(r)$ -- это площадь какой конкретно фигуры?

Извините, я не очень понял вопрос. Как я понял, фигуры, площадь которой снизу ограничена осью $r$, а сверху ограничена этой почти гиперболой.

[Slav-27]

$\varphi(r)$ -- это площадь фигуры, которая ограничена
лучом $[r,+\infty)$ на горизонтальной оси,
графиком $f$ над этим лучом
и вертикальным отрезком, соединяющим точки $(r,0)$ и $(r,f(r))$ (при $r\geqslant R$) либо $(R,0)$ и $(R,f(R))$ (при $r\leqslant R$).

Поэтому при $r\leqslant R$ надо интегрировать $\frac1{x^2}$ от $R$ до $+\infty$, а при $r\geqslant R$ -- от $r$ до $+\infty$.

[DimaM]

Kevsh
Как-то немного сумбурно у вас.
Нужно рассуждать примерно так:

$$\varphi(r)=-\int\limits_\infty^r E_r(x)dx.$$

При $r>R$ поле снаружи сферы такое же, как от соответствующего точечного заряда, потенциал знаем;
при $r<R$ имеем

$$\varphi(r)=-\int\limits_\infty^r E_r(x)dx=-\int\limits_\infty^R E_r(x)dx-\int\limits_R^r E_r(x)dx.$$

Первый интеграл - это потенциал на краю сферы, он опять же такой же, как от точечного заряда. А вот второй нужно посчитать.

[Kevsh]

Slav-27 в сообщении #1508472 писал(а):

$\varphi(r)$ -- это площадь фигуры, которая ограничена
лучом $[r,+\infty)$ на горизонтальной оси,
графиком $f$ над этим лучом
и вертикальным отрезком, соединяющим точки $(r,0)$ и $(r,f(r))$ (при $r\geqslant R$) либо $(R,0)$ и $(R,f(R))$ (при $r\leqslant R$).

Поэтому при $r\leqslant R$ надо интегрировать $\frac1{x^2}$ от $R$ до $+\infty$, а при $r\geqslant R$ -- от $r$ до $+\infty$.

То есть получается, что при $r > R$ мы считаем этот интеграл таким образом, чтобы мы могли подставить любую $r$ и получить значение потенциала, а при $r \leq R$ мы, по сути, считаем потенциал прямо в сфере, в точке $R$, приближаясь к $0$ он никак не изменяется, потому что там $E_r = 0$. Все верно? Просто в ответе к задаче все разделено на два случая: $r > R$ и $r < R$, а случай $r = R$ вообще не рассматривается, что меня и сбило с толку, видимо, это опечатка.

[Pphantom]

Kevsh, пожалуйста, набирайте все формулы, в том числе и простые, правильно. Мне несколько надоело за вами их исправлять.

[EUgeneUS]

Kevsh
Меня гложут смутные сомнения, что Ваш когнитивный диссонанс связан с тем, что Вы видите две формулы, то почему-то считаете, что это две функции.
Это не так, конечно. Функция одна, просто в одной области пространства она задаётся одной формулой, а в другой области пространства - другой. Ничего странного в этом нет, так бывает.