рациональные числа и двоичная система счисления

[maxal]

Пусть $A$ и $B$ - конечные подмножества множества рациональных чисел. Докажите, что

$$\sum_{a\in A} 2^a = \sum_{b\in B} 2^b\quad\Longrightarrow\quad A=B.$$

[nnosipov]

Как-то должно следовать из неприводимости многочлена $x^N-2$ над $\mathbb{Q}$ при любом натуральном $N \geqslant 2$. (Если оба $A$, $B$ лежат в $\mathbb{Z}$, то, естественно, из однозначности записи в двоичной системе счисления.)

Upd. Ну, вот так, например. Пусть $A=\{a_1/N,\dots,a_n/N\}$, $B=\{b_1/N,\dots,b_m/N\}$ и $\theta=2^{1/N}$. Имеем

$$\theta^{a_1}+\ldots+\theta^{a_n}=\theta^{b_1}+\ldots+\theta^{b_m}.$$

Можно считать, что все $a_i$ и $b_j$ положительны. Пусть $a_i=Nq_i+r_i$, где $0 \leqslant r_i<N$ и $q_i \geqslant 0$. Тогда левая часть принимает вид:

$$\theta^{a_1}+\ldots+\theta^{a_n}=2^{q_1}\theta^{r_1}+\ldots+2^{q_n}\theta^{r_n}=A_0+A_1\theta+\ldots+A_{N-1}\theta^{N-1},$$

где все $A_i$ --- натуральные числа, равные суммам соответствующих степеней двойки. Для правой части имеем аналогичное представление:

$$\theta^{b_1}+\ldots+\theta^{b_m}=B_0+B_1\theta+\ldots+B_{N-1}\theta^{N-1}.$$

Из неприводимости $x^N-2$ над $\mathbb{Q}$ следует, что $A_i=B_i$ для всех $i$. Из этих равенств и единственности записи в двоичной системе счисления уже можно извлечь требуемое равенство $A=B$.

[arseniiv]

(Рукомахание, но всё равно спойлер)

Это получается доказательство однозначности представления чисел, вообще представимых в системе счисления с цифрами 0, 1 и основанием $2^s$, где $s$ — произвольное положительное общее кратное знаменателей всех участвующих дробей. Эта однозначность более-менее очевидна в том смысле, что мы заведомо используем минимум цифр и не можем получать одно и то же число разными позиционными записями (с точностью до нулей в начале, которые этой задачей как раз не различаются), так как пограничный случай — это сама двоичная система, с которой при этом всё хорошо, а $s > 1$ только распахивают окна в множестве представимых вещественных чисел. Я прогулял доказательство однозначного представления для двоичной системы, но оно не должно бы никак меняться для основания $2^s$.

[maxal]

Да, всё верно. Задачка отсюда: https://mathoverflow.net/q/382784

[nnosipov]

Да, можно было и покороче (я имею в виду первое решение отсюда https://mathoverflow.net/q/382784).