Дробная производная.

[novichok2018]

Вы же указали другой вопрос, где дробные в уравнениях. Мне кажется, лекции очень понятно написаны, конечно, навык нужен. Нет, так нет, извините.

-- 03.03.2021, 11:20 --

Otta - у меня после замены $\sqrt{x-t}=y$ получился такой интеграл (без множителей):

$$ \int_0^{\sqrt{x}} \sqrt{y}\sin(x-y^2)\,dy. $$

Это интеграл Френеля? В интеграле Френеля интегрируют один синус и по полуоси. Если вспомнить про функции Френеля, то всё равно корень под интегралом мешает. Не разобрался.

[Otta]

novichok2018
Синус разности.
А с заменой какой-то косяк. Не должно быть того корня впереди.

[novichok2018]

Вроде первая степень из дифференциала, корень снизу, почему нет?

[Otta]

$$\frac {dt}{2\sqrt{x-t}}=-d\sqrt{x-t}$$

[novichok2018]

Да, Вы правы, я ошибся в простом подсчёте. Производную придётся брать с учётом корня, залезшего на верхний предел. В любом случае, это не тот же чистый синус, так что формула в вике неверная, согласны?

[arseniiv]

Да, по идее все основные определения дробной производной и интеграла должны сходиться в $D^a (\exp c x) = c^a \exp c x$ и $D^a (x^c) = \binom c a x^{c - a}$, где биномиальный коэффициент для нецелого показателя определяется обычно через гамму (я думал, это и естественно, но кто-то усомнил — теперь не знаю; всё равно предпочту верить пока, что гамма — единственное натуральное доопределение факториала, а то аргументов особых против этого не попадалось).

[Dan B-Yallay]

novichok2018 в сообщении #1507590 писал(а):

Dan B-Yallay - дробная производная (как и любой интегральный оператор) с производной снаружи, и продифференцированный под знаком интеграла --- это два разных выражения с разными областями определения. Так не всегда можно делать, только на гладких функциях, а это не наш случай.

Спасибо. Я это уже понял -- сразу после пояснения от Otta.
Как часто бывает, инструкцию по применению чего-либо смотрю в последнюю очередь.

[novichok2018]

arseniiv - интересно, что Ваши мысли - это действительно первый подход Лиувилля к дробному исчислению. Он считал, что можно разложить функцию по экспонентам, потом ввести дробную производную почленно на экспонентах в ряде. К сожалению, это некорректно, так как не все функции являются рядами экспонент (на современном языке рядами Дирихле), да и в степенные ряды тоже не все.

[arseniiv]

novichok2018 в сообщении #1507673 писал(а):

К сожалению, это некорректно, так как не все функции являются рядами экспонент (на современном языке рядами Дирихле), да и в степенные ряды тоже не все.

Разумеется.

[Евгений Машеров]

А можно наивный вопрос?
А почему не $\frac {d^{1/3}} {dx^{1/3}} A \sin x=A\sin(x+\frac \pi 6)$?

UPD

Исправлено, спасибо за замечание.

[novichok2018]

Со степенью А - давайте хоть линейность сохраним, чтобы константа полностью выносилась.
Дальше ответ зависит: дробная производная Вейля или Римана-Лиувилля. Считали тут Р-Л для половины, получается непростое выражение через гипергеометрию или функции Френеля, но не через простой синус. Для трети наверное так же, можно посчитать.
С Вейлем тут не считали, там более естественные формулы, она создана для периодических функций. Может там и такая простая формула как раз получится.
Вы наверное нашли преобразование $Tf(x)=f(x+\pi/6)$, такое, что выполняется

$$ T^3 (\sin(x))=\cos(x), $$

это да, но дробные производные тут вроде не при чём. То что индексный закон $D^{1/3}D^{1/3}D^{1/3}=D^1$ выполняется на одном синусе ничего не значит, на других функциях он не будет выполнятся. А определение дробной производной должно быть таким, чтобы индексный закон выполнялся для всех разумных функций.

[Dan B-Yallay]

По-видимому, вопрос не в том, по кому считать. A в том, почему (для синуса) данная операция не является дробной производной порядка 1/3, хотя её трёхкратное применение даёт настоящую первую прoизводную. Это свойство ведь удовлетворяет определению дробной.
Примем для простоты $A=1$

-- Ср мар 03, 2021 13:28:21 --

Уже добавили.

-- Ср мар 03, 2021 13:37:03 --

novichok2018 в сообщении #1507736 писал(а):

А определение дробной производной должно быть таким, чтобы индексный закон выполнялся для всех разумных функций.

Для косинуса вроде тоже выполяется. Oстальные функции раскладываем в ряд Фурье и ...

[arseniiv]

Dan B-Yallay в сообщении #1507741 писал(а):

Oстальные функции раскладываем в ряд Фурье и ...

Периодические — в ряд, но с некоторыми рядами не всё хорошо. Непериодические в ряд не раскладываются, а вместе с интегральным преобразованием мы вынуждены переступать порог в функан уже и второй ногой, что влечёт кучу вещей типа того, лучше считать «один и тот же» оператор, определённый на разных пространствах разными операторами (потому что в пространствах разные нормы например) и нельзя объединить все пространства в одно большое, и функции в них понимаются с точностью до разных вещей.

Однако ничего нам не мешает определить дробную производную отдельно только на аналитических функциях «покомпонентно» на чистых степенях очевидно желаемым образом. Она только станет выводить из этого класса и надо будет хитрее его подобрать, чтобы не выводила. Также ничего нам не мешает определить дробную производную только на хороших рядах и прообразах Фурье, чтобы на комплексных экспонентах она действовала очевидно желаемым образом. Но это довольно маленькие классы, пока мы готовы наступать только на заведомо твёрдую почву.

Но я тоже удивляюсь, что получается не синус. Если уж он носит гордое звание квазимногочлена, он должен быть достаточно хорошим?..

[Dan B-Yallay]

arseniiv в сообщении #1507764 писал(а):

Периодические — в ряд, но с некоторыми рядами не всё хорошо. Непериодические в ряд не раскладываются, а вместе с интегральным преобразованием мы вынуждены переступать порог в функан уже и второй ногой...

Моё предложение с рядом Фурье было, конечно, шуткой (с известной долей). С другой стороны -- ну не будем замахиваться на всё $\mathbb R$

[Otta]

Помимо того, что производные бывают разные, те же производные хоть и Римана-Лиувилля определяются, вообще говоря, например, как (левосторонняя)

$$D^\alpha_{a+}f(x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int_a^x\frac{f(t)}{(x-t)^\alpha}\, dt, \quad 0<\alpha<1$$

То определение, которое было приведено - это левосторонняя производная Римана-Лиувилля при $a=0$.
В случае, когда $a\in \mathbb R$ такая производная для синуса - всегда гипергеометрическая функция.

Чего хочет вики. И Евгений Машеров. И довольно многие. А хочется иметь формулу, аналогичную классическому случаю. Для натуральных $n$. То есть $(\sin x)^{(n)}= \sin (x+\pi n/2)$ суметь распространить на все значения порядков производных.

Это тот же Риман-Лиувилль, но при $a=-\infty$.
То есть, для $0<\alpha<1$

$$D^\alpha_{-\infty}(\sin x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int_{-\infty}^x\frac{\sin t}{(x-t)^\alpha}\, dt$$

Это можно вычислить, интегралы там классические и известные, и значение получается как раз $\sin(x+\frac{\alpha\pi}{2})$

В Вольфраме, кстати, по этому поводу лежит симпатичная анимашка. https://demonstrations.wolfram.com/Frac ... iveOfSine/

То есть то, что было получено ранее верно. Но верно и другое. Смотря какую именно производную считать.