Но если
![$4mn$ $4mn$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/8/a88a2a2d3be8a34254393100a151c99182.png)
не степень, то либо сумма, либо разность может быть степенью.
Уважаемый
dick!
Достаточно сделать оговорку, что рассматривается минимальная степень на предмет существования решения для уравнения Била и Ваш вопрос закрывается.
Действительно, вы предлагаете рассмотреть не степень, а число
![$(2\cdot 2m)$ $(2\cdot 2m)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/2/9c2ead791de9bc972b80f69881edd06582.png)
, где
![$(2m)$ $(2m)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/f/95f3df29413f8be9b19e79a6f250452482.png)
- степень.
Что возможно при
![$m=2m_1$ $m=2m_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/f/8ff542403fabd47607384a9b1a51455682.png)
при четном
![$(m_1)$ $(m_1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/7/f671e66256ca1b065eee42f37f6b4dda82.png)
.
![$2m=2\cdot 2m_1 =2m_1\cdot 2\cdot1$ $2m=2\cdot 2m_1 =2m_1\cdot 2\cdot1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/4/344438c299b82b8e66636df9cce8089782.png)
.
То есть существовала бы другая степень меньшая нашей минимальной, что противоречит принципу единственности минимального решения.
Попутно объединим докво для степеней с четными и нечетными показателями больше 2.
Для этого достаточно оговорить, что любая степень четного числа с четным или нечетным показателем больше двух представляется разностью квадратов, то есть произведением суммы и разности нечетных чисел
![$4mn=(x+y)(x-y)$ $4mn=(x+y)(x-y)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/d/cad2ca1c54998d0db62db2b285eeab9282.png)
.
Следует отметить также, что для нечетного
![$(n)$ $(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/b/e5b6f9f359887a3eb08fb8e8209360ab82.png)
число
![$(2n)$ $(2n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/c/18c6bfe84c27e019f1d0254f5db6b40a82.png)
является не степенью. Поэтому можно ограничиться
![$n=1$ $n=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/2/3d2be9e2108301e9097fa4bc5104664182.png)
. Тогда
![$4m=2m \cdot 2\cdot 1$ $4m=2m \cdot 2\cdot 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/1/6819ea52706c2590948e2c0ad17c0c9882.png)