Табличный интеграл и подстановка

[e7e5]

Вычислить:

$\int \frac {dx} {x(x-b)^{1/2}}$ , $b$>$0$

Правильно ли понимаю, что если положить $c=$$-b$, получаем

$\int \frac {dx} {x(x+c)^{1/2}}$

и этот интеграл равен:
$-1/ \sqrt{-c}* \arcsin \frac {2c+x} {x} $ ?

[Someone]

Проверьте дифференцированием.

А зачем заменять $b$ на $-c$?

Вообще, я бы подставил $t=\sqrt{x-b}$.

[e7e5]

Someone писал(а):

Вообще, я бы подставил $t=\sqrt{x-b}$.

$x=$$t^2+b$
$dx=$$2tdt$

Отсюда получаем:
$\int \frac {2dt} {t^2+\sqrt{b}^{2}}$

Это уже табличный интеграл - получается арктангенс

$2/ \sqrt{b}* \arctg \frac {t} {\sqrt{b}} $ или
$2/ \sqrt{b}* \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} $

Как же перейти к арксинусу? Что-то не сошлось...

$-1/ \sqrt{b}* \arcsin \frac {-2b+x} {x} $

[ИСН]

Или для Вас новость, что некоторые интегралы в зависимости от пути взятия вылазят в неузнаваемо разных видах, между которыми можно ноги переломать по буеракам?

[e7e5]

ИСН писал(а):

Или для Вас новость, что некоторые интегралы в зависимости от пути взятия вылазят в неузнаваемо разных видах, между которыми можно ноги переломать по буеракам?

Про "пути" слышал, но кабы знать точно.
Почему не сходится, как этот арксинус получить , какую другую подстановку пробовать? Пожалуйста по делу скажите...

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #150746 писал(а):

как этот арксинус получить

Посмотрите последние (на настоящий момент) формулы здесь.

[Someone]

e7e5 писал(а):

Как же перейти к арксинусу? Что-то не сошлось...

$-1/ \sqrt{b}* \arcsin \frac {-2b+x} {x} $

Вам непременно нужно получить арксинус? Ну, тогда давайте так и подставим: $\frac{x-2b}x=t$.

Только у Вас знак неправильный.

[ewert]

Алексей К. писал(а):

e7e5 в сообщении #150746 писал(а):

как этот арксинус получить

Посмотрите последние (на настоящий момент) формулы здесь.

Говоря в принципе: тригонометрические функции выражаются друг через друга -- в частности, тангенс через синус и наоборот. Соответственно, и арктангенс через арксинус.

[e7e5]

Someone писал(а):

e7e5 писал(а):

Как же перейти к арксинусу? Что-то не сошлось...

$-1/ \sqrt{b}* \arcsin \frac {-2b+x} {x} $

Вам непременно нужно получить арксинус? Ну, тогда давайте так и подставим: $\frac{x-2b}x=t$.

Только у Вас знак неправильный.

$\frac {2b} {x^2}$$dx=$$dt$
$x=$$\frac {2b} {1-t}$
Далее подставил и интеграл действительно свелся снова к табличному -арксинус
$1/ \sqrt{b}* \arcsin \frac {x-2b} {x} $

Таперь хочу перейти по формулам из справочника от арксинуса к арктангенсу --- $ \arcsin x= \arctg\frac {x} {\sqrt{1-x^2}}$
Получается , что $ \arcsin \frac {x-2b} {x} $ сводится к

$\arctg \frac {x-2b} {2 \sqrt{b} \sqrt{b-x}}$
А ранее посчитали интеграл и там другое значение арктангенса... не сходится

[Someone]

e7e5 в сообщении #150984 писал(а):

А ранее посчитали интеграл и там другое значение арктангенса... не сходится

Там и коэффициент перед арктангенсом другой. И на константу эти первообразные могут отличаться.

А зачем Вам эти преобразования? Результат интегрирования проверяется дифференцированием.

[e7e5]

Someone писал(а):

Там и коэффициент перед арктангенсом другой. И на константу эти первообразные могут отличаться.

А зачем Вам эти преобразования?

1) Хочу из одного тригонометрического выражения получить другое ( вспомнить попутнокак делается, ну а с дифференцирование понятно).
$2/ \sqrt{b}* \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} $
$ 1/ \sqrt{b}* \arcsin \frac {x-2b} {x} $

2) Коэффициент действительно есть

и формула есть суммы двух арктангенсов стандартная, когда получается
$\arctg x + \arctg y = \pi + \arctg\frac {x+y} {1-xy}$,
если $x>0$ и $xy>1$ например

$2/ \sqrt{b}* \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} $ - как
$1/ \sqrt{b}* \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} $ +$1/ \sqrt{b}* \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} $
$b^{1/2}$ отсюда выносим за скобки, если это сравнить с арксинусом, то вроде сумма этих двух арктангенсов должна привести в итоге к искомому арксинусу.
Но не получается...

3)Вот две разные подстановки сделали, два разных представления ответа.
Когда же какую подстановку лучше делать, от чего зависит?

4) Пусть $x$ - длина некоторой кривой ( в итоговом результате), выражение полученное от интеграла выражает угол наклона касательной к этой кривой.
То какое выражение лучше для дальнейших исследований брать?

[Someone]

e7e5 в сообщении #151013 писал(а):

если это сравнить с арксинусом, то вроде сумма этих двух арктангенсов должна привести в итоге к искомому арксинусу.
Но не получается...

И не должно. Посмотрите при $x=b$: одна первообразная равна $0$, а другая - $-\frac{\pi}{2\sqrt{b}}$.

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #150984 писал(а):

А ранее посчитали интеграл и там другое значение арктангенса... не сходится

Разбор этих несообразностей --- или якобы несообразностей --- есть постижение ремесла. Он сулит либо исправление ошибок, либо много чудных открытий. И в любом случае --- приятнейшее времяпрепровождение.

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

Получается , что $ \arcsin \frac {x-2b} {x} $ сводится к
$\arctg \frac {x-2b} {2 \sqrt{b} \sqrt{b-x}}$

У меня получилось, что $ \arcsin \frac {x-2b} {x} = \arctg \frac {x-2b} {2 \sqrt{b} \sqrt{x-b}}$ (при $b > 0$).

Добавлено спустя 5 минут 51 секунду:

Если Вы работаете в действительных числах, то у Вас аргумент арксинуса требует $x>b$, ($b>0$ по условию), и Ваш радикал $\sqrt{b-x}$ не котируется.
Всё это также детектируется простыми проверками (типа а что будет при b=1, x=1/2 ?).

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

У меня получилось, что $ \arcsin \frac {x-2b} {x} = \arctg \frac {x-2b} {2 \sqrt{b} \sqrt{x-b}}$ (при $b > 0$).

.

Проверю еще раз, видно описался, выкладывая на форум.

e7e5 писал(а):

1) Хочу из одного тригонометрического выражения получить другое ( вспомнить попутнокак делается, ну а с дифференцирование понятно).
$2/ \sqrt{b}* \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} $
$ 1/ \sqrt{b}* \arcsin \frac {x-2b} {x} $ .

Тогда при каких $b>0$ возможно равенство?
Решаем тригонометрическое уравнение?

Someone писал(а):

И не должно. Посмотрите при $x=b$: одна первообразная равна $0$, а другая - $-\frac{\pi}{2\sqrt{b}}$.

Почему, какое теоретическое обоснование - популярно пояснить можете?