Отношение площадей треугольника

[profilescit]

Есть треугольник со сторонами $a, b, c$. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB, BC, AC$ в точках $D, E, F$
Найти отношение площадей треугольника $\Delta DEF$ к треугольнику $\Delta A B C$

Мои попытки решения: используя привычные обозначения, полезно будет написать чему равны косинусы углов и половины углов изначального треугольника.
$\cos{A} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}$

$\cos{B} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c}$

$\cos{C} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}$

$\cos{A/2} = \sqrt{\frac{(b+c)^2-a^2}{4 b c}}$

$\cos{B/2} = \sqrt{\frac{(a+c)^2-b^2}{4 a c}}$

$\cos{C/2} = \sqrt{\frac{(a+b)^2-c^2}{4 a b}}$

Радиус вписанной окружность $r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}{a+b+c}}$

Пусть $[DF] = a', [DE] = b', [EF] = c'$

Тогда $a' = 2 r \cos{A/2} = (b+c-a) \sqrt{\frac{(a+b-c)(a+c-b)}{4bc}}$ и соответсвенно остальные стороны...

Отношение площадей треугольников будет $\sqrt{\frac{(a'+b'-c')(a'+c'-b')(b'+c'-a')(a'+b'+c')}{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}}$

Можно ли как-то это красиво упростить? Пару часов на это потратил, еще не пришел к красивому ответу, хотя кажется что он должен быть.

[arseniiv]

Стоит попробовать избавиться от длин с самого начала, так как отношение площадей будет то же самое для подобного треугольника.

[profilescit]

arseniiv, возможно я вас неправильно понял, но разве наши треугольника подобны?

[arseniiv]

Наши нет, но если мы возьмём треугольник со сторонами $\varkappa a, \varkappa b, \varkappa c$, то результаты будут ровно те же. Впрочем ниже этот совет никак не применён:

(Следующее писалось параллельно.)
Обозначим центр окружности $O$ и пересечём $DF$ с перпендикулярной ей $OA$ в $A'$ (середине $DF$), аналогично на $DE$ нарисуем $B'$ и на $EF$ нарисуем $C'$. Мы видим например что

$$S_{ABC} = S_{ADOF} + S_{BDOE} + S_{CEOF},$$

а те площади равны половинам $[AO] \cdot [DF], [BO] \cdot [DE], [CO] \cdot [EF]$ соответственно. Как-то у вас должно вывестись, что $[AO] \cdot [A'O] = [BO] \cdot [B'O] = [CO] \cdot [C'O]$ — это квадрат радиуса окружности (привет от инверсии). Мы можем также сказать

$$S_{DEF} = S_{DOF} + S_{DOE} + S_{EOF},$$

а эти-то слагаемые в свою очередь равны полвинам $[A'O] \cdot [DF], [B'O] \cdot [DE], [C'O] \cdot [EF]$.

Казалось бы, ещё немного покрутить и всё откроется. Как на деле — не знаю, я просто поиздевался над треугольником в GeoGebra.

UPD: добавил квадратных скобок дабы идти в ногу с исходным постом.

[Mihr]

profilescit, а у Вас есть, где посмотреть ответ? У меня искомое отношение получилось равным $\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{4abc}$. Но хотелось бы проверить этот результат прежде, чем давать советы

[profilescit]

Mihr
К сожалению, ответов нет. Если в ваш ответ подставить равнобедренный треугольник, получается правда

[Mihr]

profilescit, ну, давайте сделаем вместе, если хотите. Заодно и моё решение проверится на предмет ошибок Будем делать?

[profilescit]

Mihr, давайте. Буду только рад

[arseniiv]

Mihr
Численную проверку по крайней мере проходит.

[Mihr]

arseniiv, спасибо.

profilescit, давайте начнём так. Обозначим через $I$ инцентр треугольника (то есть, центр вписанной окружности). Ясно что площадь треугольника $DEF$ разбивается в сумму площадей треугольников $IDE, IEF, IFD$. Попробуем пока выразить эти слагаемые (а затем их сумму) через радиус $r$ вписанной окружности и синусы углов $A,B,C$ исходного треугольника. Что у Вас получается?

[profilescit]

Mihr $r^2 \sin{A}$, $r^2 \sin{B}$, $r^2 \sin{C}$ и соответсвенно сумма $r^2 (\sin{A} + \sin{B} + \sin{C})$

[Mihr]

profilescit, да, только Вы потеряли коэффициент $\dfrac{1}{2}$.
Теперь давайте запишем площадь исходного треугольника $ABC$ через три его стороны и радиус $R$ описанной окружности. Помните формулу?
А затем построим нужное нам отношение площадей. Что получается?

[profilescit]

Mihr вроде как $\frac{a b c}{4 R}$

[Mihr]

Ну, да. Запишите нужное отношение и продолжим.

[profilescit]

Mihr $\frac{2 R r^2(\sin{A} + \sin{B} + \sin{C})}{abc}$ теперь применим теорему синусов? получается $r^2(\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc})$

красиво, теперь $r^2 = \frac{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}{4(a+b+c)}$ подставляем и получаем ваше выражение