2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти все инвариантные подпространства
Сообщение18.02.2021, 13:56 


14/02/20
832
Это задача из Ким 59.11ж

Найти все инвариантные подпространства оператора дифференцирования $D$ в пространстве многочленов степени не выше $n$ $M_n$.

Найти инвариантные подпространства несложно, но как доказать, что это будут "все"? Понятно, что $M_k$ при $k=0..n$ будут инвариантны, ну и нулевое подпространство, в учебнике такой ответ и приводится. Но ведь есть еще много всяких подпространств (допустим, многочлены, равные нулю в какой-то точке, либо у которых сумма каких-то коэффициентов равна нулю, да мало ли каких... конкретно эти подпространства не будут инвариантны, но за все отвечать тяжело). Как доказать, что этими подпространствами все ограничится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все инвариантные подпространства
Сообщение18.02.2021, 14:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Ну, попробуйте доказать, что если такое инвариантное подпространство содержит некоторый многочлен степени $n$, то оно содержит и все многочлены степени $\leqslant n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все инвариантные подпространства
Сообщение18.02.2021, 17:41 


14/02/20
832
Someone в сообщении #1505567 писал(а):
Ну, попробуйте доказать, что если такое инвариантное подпространство содержит некоторый многочлен степени $n$, то оно содержит и все многочлены степени $\leqslant n$.

Да, согласен.

Если некоторое инвариантное подпространство содержит некоторый многочлен степени $k$, и пусть это будет многочлен максимальной степени, который оно содержит; тогда оно содержит и все его производные всех порядков, а значит некоторые многочлены степени $k-1,\ k-2,\ ...\,\ 0$. С помощью их линейных комбинаций мы можем создать одночлены $x^k,\ x^{k-1}, \ ... ,\ 1$, ну а с помощью них уже любые многочлены соответствующих степеней. Значит наше подпространство не может отличаться от $M_k$.

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все инвариантные подпространства
Сообщение18.02.2021, 18:15 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
artempalkin в сообщении #1505606 писал(а):
С помощью их линейных комбинаций мы можем создать одночлены $x^k,\ x^{k-1}, \ ... ,\ 1$,

Вот это и совсем лишнее, и не так уж и очевидно. Зато вполне очевидно другое: те, предыдущие многочлены линейно независимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все инвариантные подпространства
Сообщение18.02.2021, 18:27 


14/02/20
832
ewert в сообщении #1505617 писал(а):
Вот это и совсем лишнее, и не так уж и очевидно.

На мой взгляд это вполне очевидно, но согласен, лишнее :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group