Найти все инвариантные подпространства

[artempalkin]

Это задача из Ким 59.11ж

Найти все инвариантные подпространства оператора дифференцирования $D$ в пространстве многочленов степени не выше $n$ $M_n$.

Найти инвариантные подпространства несложно, но как доказать, что это будут "все"? Понятно, что $M_k$ при $k=0..n$ будут инвариантны, ну и нулевое подпространство, в учебнике такой ответ и приводится. Но ведь есть еще много всяких подпространств (допустим, многочлены, равные нулю в какой-то точке, либо у которых сумма каких-то коэффициентов равна нулю, да мало ли каких... конкретно эти подпространства не будут инвариантны, но за все отвечать тяжело). Как доказать, что этими подпространствами все ограничится?

[Someone]

Ну, попробуйте доказать, что если такое инвариантное подпространство содержит некоторый многочлен степени $n$, то оно содержит и все многочлены степени $\leqslant n$.

[artempalkin]

Someone в сообщении #1505567 писал(а):

Ну, попробуйте доказать, что если такое инвариантное подпространство содержит некоторый многочлен степени $n$, то оно содержит и все многочлены степени $\leqslant n$.

Да, согласен.

Если некоторое инвариантное подпространство содержит некоторый многочлен степени $k$, и пусть это будет многочлен максимальной степени, который оно содержит; тогда оно содержит и все его производные всех порядков, а значит некоторые многочлены степени $k-1,\ k-2,\ ...\,\ 0$. С помощью их линейных комбинаций мы можем создать одночлены $x^k,\ x^{k-1}, \ ... ,\ 1$, ну а с помощью них уже любые многочлены соответствующих степеней. Значит наше подпространство не может отличаться от $M_k$.

Спасибо!

[ewert]

artempalkin в сообщении #1505606 писал(а):

С помощью их линейных комбинаций мы можем создать одночлены $x^k,\ x^{k-1}, \ ... ,\ 1$,

Вот это и совсем лишнее, и не так уж и очевидно. Зато вполне очевидно другое: те, предыдущие многочлены линейно независимы.

[artempalkin]

ewert в сообщении #1505617 писал(а):

Вот это и совсем лишнее, и не так уж и очевидно.

На мой взгляд это вполне очевидно, но согласен, лишнее :)