Помогите вычислить интегралы

[Banks]

Помогите вычислить интегралы:

$$\int_{0}^{t} 1(x) e^{\frac {x} {\tau}} dx$$

и

$$\int_{0}^{t} 1(x-a) e^{\frac {x} {\tau}} dx$$

, где

$$1(x)$$

и

$$1(x-a)$$

- функции Хевисайда;

$$\tau , a$$

- постоянные.

[Someone]

А что такое функция Хевисайда?

[Banks]

$$1(t) =\left\{ \begin{array}{l} 1,t>=0\\ 0,t<0 \end{array} \right.$$

и

$$1(t-a) =\left\{ \begin{array}{l} 1,t>=a\\ 0,t<a \end{array} \right.$$

[Бодигрим]

Разбивайте интегралы на две части сообразно областям постоянства вашей функции Хевисайда и считайте каждый из получившихся интегралов отдельно.

[Someone]

Banks писал(а):

$$1(t) =\left\{ \begin{array}{l} 1,t>=0\\ 0,t<0 \end{array} \right.$$

и

$$1(t-a) =\left\{ \begin{array}{l} 1,t>=a\\ 0,t<a \end{array} \right.$$

Ну и, стало быть, чему же равна эта функция в первом интеграле?

[ewert]

Бодигрим в сообщении #150494 писал(а):

Разбивайте интегралы на две части сообразно областям постоянства вашей функции Хевисайда и считайте каждый из получившихся интегралов отдельно.

Только с одним существенным нюансом: для "внешней" переменной $t$ тоже надо разбирать два случая -- до точки разрыва соотв. Хевисайда и после. Т.е. ответ тоже будет содержать функцию Хевисайда. Возможно, из-за этого проблема и возникла.

[Orange]

Я полагаю так: в первом интеграле, если t>0 то в подинтегральном выражении функция Хевисайда равна 1, тогда интеграл равен экспоненте с соотв. коэффициентом, в противном слычае весь интеграл равен нулю. Во втором интеграле если 0<а<t, то интрегрируется экспонента от а до t, если a>t, то интеграл равен нулю, наконец, если а отрицательно, то, опять же, интеграл равен экспоненте с соотв. коэффициентом (это всё при t>0). Мы рассматриваем подинтегральную функцию в пределах интегрирования и смотрим, чем там равна функция Хевисайда.