Весы и часы

[powerZ]

Munin, несмотря на то, что в формулах вы по-моему кое-что напутали, мне модель ваша нравится. С ней можно разбираться. Давайте рассмотрим её сначала качественно. Пусть никаких весов нет, а коробка начинает падать под действием силы тяжести к земле. Скорось центра масс нарастает от нуля по линейному закону. Тогда если коробка относительно центра масс движется с постоянной скоростью вверх, то скорость донышка отностительно земли сначала будет отрицательной (донышко движется вверх), потом нулевой, и далее положительной (донышко движется вниз). Важно, что вначале скорость донышка направлена вверх.

С весами посложнее. Думаю пока.

[AlexNew]

часы можно представить в виде материальной точки на высоте центра масс часов над весами.

если точку положить на весы, весы покажут равный вес.

однако у нас есть избыток потенциальной энергии, который может пойти частично на нагрев частично перейти в потенциальную энергию дугого груза.

задача эквивалентна задаче о выводу весов из положения равновесия, колебания каромысла (качелей).

если потерь на теплоту нет, весы будут вечно колебатся с амплитудой 2 разницы высот центра масс часов,
если есть диссипативные силы то колебания будут затухать.

если очень хочется то потенциальную энергию можно перевесть в массу, но не думаю что есть весы для замера 17 знака после запятой.

не совсем понимаю чего вы тут считаете

[powerZ]

Соображение №2. Пусть донышко коробки опирается на пружинные весы. Пружина сжата на величину $y$. Сила реакции пружины:

$ky=mg$

Весы показывают вес, равный массе коробки с грузом.

Пусть теперь центр масс зафиксирован в пространстве. А донышко движется вверх с постоянной скоростью. Тогда показания весов будут уменьшаться со временем, вплоть до нуля, т.к. пружина будет растягиваться. Поскольку скорость донышка постоянна, стрелка весов будет перемещаться с постоянной скоростью. Мы будем фиксировать уменьшение веса, происходящее по линейному закону.

Продолжение следует (в смысле, думаю дальше )

[Munin]

powerZ в сообщении #150155 писал(а):

Munin, несмотря на то, что в формулах вы по-моему кое-что напутали

Априорное знание - это всегда восхитительно. Вам ангел сказал, что я что-то напутал? Попросите его уточнить, что именно.

powerZ в сообщении #150155 писал(а):

Давайте рассмотрим её сначала качественно. Пусть никаких весов нет, а коробка начинает падать под действием силы тяжести к земле. Скорось центра масс нарастает от нуля по линейному закону. Тогда если коробка относительно центра масс движется с постоянной скоростью вверх, то скорость донышка отностительно земли сначала будет отрицательной (донышко движется вверх), потом нулевой, и далее положительной (донышко движется вниз). Важно, что вначале скорость донышка направлена вверх.

Давайте вы, прежде чем рассматривать движение в этом режиме, сначала ответите, который из перечисленных мной предельных случаев при этом реализуется.

[Шимпанзе]

То , что при смещении цента тяжести с ускорением изменяется давление на чашу весов может проверить каждый. Встаньте на весы и быстро ( с ускорением) присядьте. Вначале весы покажут снижение веса, затем увеличение. Однако ж для песочных часов отрицательное ускорение центра тяжести столь мало, что кроме методического интереса не представляет.

[powerZ]

Munin в сообщении #150177 писал(а):

Априорное знание - это всегда восхитительно. Вам ангел сказал, что я что-то напутал? Попросите его уточнить, что именно.

Какой ещё ангел? Не горячитесь. Просто возникли некоторые сомнения. Вы записали уравнение:

Munin писал(а):

Возьмём коробочку, в которой центр масс перемещается по заданной функции $h=h(t)$ относительно самой коробочки (положение которой обозначим $y=y(t)$). Дальше Второй закон Ньютона
$m(y+h)''_t=N-mg$
плюс закон Гука (для рычажных весов тоже действует)
$N=-ky$
дают
$\ddot{y}+\frac{k}{m}y=-\ddot{h}-g.$

Если я правильно понял - $y$ это координата донышка коробочки, а $y+h$ - координата центра масс. И уравнение записано для центра масс?

Добавлено спустя 28 минут 6 секунд:

Собственно сомнения у меня в том, что сила сопротивления пружины, приложенная к донышку, равна силе, приложенной к центру масс. То есть, что она передается одинаковым образом, как при неподвижном, так и при движущемся центре масс.

[powerZ]

Я попробывал решить задачу с коробочкой несколько иначе. Как физически реализовать равномерное движение массы относительно корпуса? Возможно ли оно? Вниз тело движется под действием гравитации. И не равномерно. Значит для "придания" равномерности его надо подтормаживать. Рассмотрим массивное тело, с массой $m_1$, способное свободно перемещаться (падать) вдоль жесткой вертикальной оси внутри коробочки под действием гравитации. Пусть тело время от времни тормозится на оси (фиксируется), для того чтобы приблизить его движение к равномерному. Коробочка лежит на чашке весов, масса чашки и коробочки (без перемещающегося груза) составляет $m_2$. То есть у нас есть два интервала:

1) Груз $m_1$ свободно падает под действием гравитации, груз $m_2$ связан с весами:

$x''m_1 = - m_1 g$
$y''m_2 = - m_2 g - k y$


2) Груз фиксируется на оси.

$y''(m_1+m_2) = - (m_1+m_2) g - k y$
$x = y + h , (h=const)$
(в качестве $h$ берем последнее значение разности $x - y$ из предыдущего интервала)

Где $x$ - координата массы $m_1$, $y$ - координата чашки весов. На границе скорость $y'$ скачком меняет значение - пересчитывается согласно закону сохранения импульса:

$y' := (m_1 x' + m_2 y' )/(m_1+m_2)$

Результаты:



Здесь красным цветом обозначена координата груза $m_1$, синим - координата чашки весов $m_2$, зеленым - расстояние от груза до чашки весов (донышка коробочки). Я подобрал интервалы свободного падения и фиксации так, чтобы это расстояние изменялось усредненно по линейному закону. Грубовато конечно, но думаю для иллюстрации подхода сойдет. Как видно из рисунка, весы показвали меньший вес (синия линия), пока груз не достиг дна короброчки. Далее пошли колебания вокруг начальной точки покоя:

[Munin]

powerZ в сообщении #150218 писал(а):

Собственно сомнения у меня в том, что сила сопротивления пружины, приложенная к донышку, равна силе, приложенной к центру масс. То есть, что она передается одинаковым образом, как при неподвижном, так и при движущемся центре масс.

Ну так задана же связь между $y$ и $y+h$, и она абсолютно жёсткая: $h=h(t).$ Я просто пользуюсь тем, что $h$ - это положение центра масс всей конструкции, включая коробочку.

powerZ в сообщении #150411 писал(а):

Как физически реализовать равномерное движение массы относительно корпуса?

Перечитайте тему, на которую дана ссылка, в который раз говорю. Там не равномерное движение, а равноускоренное.

powerZ в сообщении #150411 писал(а):

Далее пошли колебания вокруг начальной точки покоя:

Колебания, конечно, лишние. В реальных весах имеются потери, так что колебания затухают. Я тоже мог их ввести в уравнение, но поскольку я знал, что рассмотрю предельный случай, мне это не понадобилось.

Между прочим, вы не указали значений $m_1$ и $m_2$ в ваших симуляциях. Это достаточно важно, потому что приближаться надо ко вполне определённому предельному случаю.

[powerZ]

Munin в сообщении #150429 писал(а):

Ну так задана же связь между и , и она абсолютно жёсткая:

Так она не понятно как реализована. Что значит задана? У вас ВСЕГДА связь донышка и центра масс жесткая, не зависимо, движутся ли они друг относительно друга или нет. Мне не представляется это верным.

Munin в сообщении #150429 писал(а):

Перечитайте тему, на которую дана ссылка, в который раз говорю. Там не равномерное движение, а равноускоренное.

Мы сейчас обсуждаем вашу модель, где движение равномерное

Munin в сообщении #150429 писал(а):

Между прочим, вы не указали значений и в ваших симуляциях

Смотрите на картинку внимательно

Добавлено спустя 13 минут 35 секунд:

И обижаете - это не симуляция, а аналитическое решение (кусочно сопряженное)

[Munin]

powerZ в сообщении #150431 писал(а):

Так она не понятно как реализована.

Она реализована тем, что мы знаем расстояние. Понятно, что модель упрощённая, в более полной собственно этой-то функции и не задано, она получается из решения уравнений движения для частей тела.

powerZ в сообщении #150431 писал(а):

Мы сейчас обсуждаем вашу модель, где движение равномерное

В моей модели неравномерное, что с вами?

powerZ в сообщении #150431 писал(а):

Смотрите на картинку внимательно

Да. Тогда получается, у вас тело тяжёлое, а чашка весов лёгкая? Тогда вы рассматриваете ровно не тот предельный случай, какой нужно.

powerZ в сообщении #150431 писал(а):

И обижаете - это не симуляция, а аналитическое решение (кусочно сопряженное)

Пардон, не разобрался.

[powerZ]

Munin в сообщении #150463 писал(а):

В моей модели неравномерное, что с вами?

Так и в моей тоже неравномерное Ну ладно, пусть неравномерное. Хотя равномерное тоже было бы интересно рассмотреть. В вашей модели что $h(t)=const$, что равномерный закон - никакой разницы в показаниях весов. А я вот думаю, может всё таки есть разница? Я вот привел вам частный случай, когда закон движения такой, что стрелка весов отклоняется в ноль. Почему вы думаете что с водяными часами не может быть чего-нибудь похожего, и чаша с часами не может быть легче?

Munin в сообщении #150463 писал(а):

Да. Тогда получается, у вас тело тяжёлое, а чашка весов лёгкая? Тогда вы рассматриваете ровно не тот предельный случай, какой нужно.

Почему? Я думал, как раз груз массивный, а коробочка легкая. Кстати в этом случае всё объяснимо на качественном уровне через 1-й закон Ньютона. Массивное тело не может быстро изменить положение в пространстве, а легкая коробочка - подтягивается к нему, следовательно весы начинают показывать меньший вес.

[peregoudov]

Munin в сообщении #150002 писал(а):

В теме от peregoudov-а добавки "привесок от импульса полученного от падения песка" нет.

Сие не вполне верно. В моем сообщении 25 приведена оценка этого эффекта. Она легко получается на пальцах. Это эффект более высокого порядка малости, чем ускорение центра масс. Поэтому качественно изменить показания весов (утяжеление на облегчение) он не может.

powerZ в сообщении #150218 писал(а):

Собственно сомнения у меня в том, что сила сопротивления пружины, приложенная к донышку, равна силе, приложенной к центру масс.

Вообще-то есть такой закон механики: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно сумме внешних сил, действующих на тема системы. У нас таких внешних сил две: сила тяжести, которая не меняется (поскольку от переливания не меняется масса), и сила реакции опоры, которая и представляет собой показания весов. Если центр масс часов покоится, то показания весов равны просто силе тяжести, а если движется (с ускорением), то ...

[Munin]

powerZ в сообщении #150469 писал(а):

Я вот привел вам частный случай, когда закон движения такой, что стрелка весов отклоняется в ноль.

Простите, этот частный случай построен с нарушением правил измерения на весах - в то время как в исходной задаче такого нарушения нет.

powerZ в сообщении #150469 писал(а):

Почему? Я думал, как раз груз массивный, а коробочка легкая.

Вы не обращаете внимания. Я говорю не про коробочку (у меня она вообще нулевой массы), а про чашку весов. Вот она обязана быть массивней груза, чтобы усреднять его воздействия. Собственно, вся подковырка задачи с часами - это построение такой ситуации, когда усреднение заведомо меньше, чем время работы часов от старта до финиша. Но тем не менее это усреднение достаточно велико.

peregoudov в сообщении #150534 писал(а):

Сие не вполне верно. В моем сообщении 25 приведена оценка этого эффекта. Она легко получается на пальцах. Это эффект более высокого порядка малости, чем ускорение центра масс.

Скажите это Шимпанзе. Меня он не слушает, а руководствуется логикой "если знак совпадает, то речь идёт об одном и том же".

[powerZ]

Пусть груз $m_1$ падает вдоль стержня с трением. Стержень опирается на чашку весов с массой $m_2$. $x$ - координата $m_1$, $y$ - координата $m_2$ (чашки весов). Правильно ли будет записать для $m_1$:

$m_1 x'' = - m_1 g - k y - q ( x - y )'$ ?

где $q$ - постоянный коэффициент.

Как записать уравнение для массы $m_2$ ?

$m_2 y'' = - m_2 g - k y + ? $

Добавлено спустя 25 минут 50 секунд:

Munin в сообщении #150545 писал(а):

Я говорю не про коробочку (у меня она вообще нулевой массы), а про чашку весов. Вот она обязана быть массивней груза, чтобы усреднять его воздействия.

А зачем ей быть массивнее груза? Вот у меня дома есть напольные весы. Я на них взвешиваюсь, всё нормально, а сами они весят от силы 1.5 кг.

Munin в сообщении #150545 писал(а):

Простите, этот частный случай построен с нарушением правил измерения на весах - в то время как в исходной задаче такого нарушения нет.

В исходной задаче вообще никаких требований к массе чашки весов не предъявляется. Там спрашивается будут ли весы показывать меньший вес, или больший, или тот же самый, пока течет вода в водяных часах.

[Munin]

У меня получается
$m_1\ddot{x}=-m_1g+Q,\quad Q=\mathrm{const}$
$m_2\ddot{y}=-ky-Q-\lambda\dot{y}$
в пределе $ky\gg\lambda\dot{y},\,\, m\ddot{y}$ остаётся
$Q=-ky$

Добавлено спустя 7 минут 16 секунд:

powerZ в сообщении #150549 писал(а):

А зачем ей быть массивнее груза?

Потому что вы стоите на них спокойно. Ваши движения (дыхание, сердцебиение, переминающаяся поза) меньше по массе, чем масса чаши весов. Поэтому они эффективно усредняют ваши движения, и показывают стабильную цифру. А вот если бы это было не так, стрелка бы болталась, что делало бы весы бесполезными.

powerZ в сообщении #150549 писал(а):

В исходной задаче вообще никаких требований к массе чашки весов не предъявляется.

Ну да, это тип условий, когда недостающие вещи надо сообразить самому из каких-то реалистичных представлений (например, не воображать себе велосипеда с колёсами по 200 м диаметром, едущего со скоростью 3000 км/ч).

Поэтому логичный вывод таков: весы достаточно стабильны, чтобы не чувствовать падения отдельных песчинок, но всё-таки реалистично стабильны, и за время работы весов (несколько минут для медицинских песочных часов, другие песочные и водные часы могут работать более часа) показания не усредняют, а подстраивают под нагрузку. Обычно весы устанавливают показания несколько секунд, это вполне достаточно для указанных условий.