2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Возможно ли использовать решения уравнения AX2+BY2=Z3 ?
Сообщение23.07.2018, 15:50 


03/10/06
816
Если бы существовали такие взаимно простые $(a,b)$, большие нуля, что выполнялось бы равенство
$$a^3 + b^3 = c^3$$ , то среди множества решений уравнения
$$ax^2 + by^2 = z^3$$
было бы и такое, которое для $(x,y)$ давало бы $(a,b)$ .
Как это уравнение решается, можно посмотреть по следующим ссылкам:
https://sites.google.com/site/tpiezas/006
https://www.emis.de/journals/GM/vol13nr2/andrica/andrica.pdf
Запишем решения этого уравнения:
$$\begin{cases} x = u(au^2 - 3bv^2)\\ y = v(3au^2 - bv^2)\\ z = au^2 + bv^2\\ \end{cases}$$, где $(u,v)$ произвольные целые числа.
Подставив в первых двух выражениях вместо $(x,y)$ $(a,b)$, далее перенести член с $a$ из правой части в левую в первом равенстве, во втором равенстве перенести член с $b$, затем перемножив левые и правые части и сократив на $ab$ можно получить в итоге такое выражение:
$$v^3 = \frac{u^3 - 1}{8u^3 + 1}$$
Видно, что при целых $u>1$ и $u<0$ не получить целое $v$, $u$ или $v$ нулевые не подходят в качестве решений, так как $(a,b)$ по условию должны быть больше нуля. То есть нет таких натуральных $a$ и $b$, чтобы первое уравнение было возможно.
Пока не понял одного, все ли решения даются для уравнения $ax^2 + by^2 = z^3$, или приводятся только те, которые несложно получить. Например в книге Серпинского "О решении уравнений в целых числах" на странице 62 можно прочесть "Ещё Эйлер знал, что все решения уравнения $$x^2 + y^2 = z^n$$, где числа $x$ и $y$ взаимно простые, можно получить из тождества $$[\pm \frac{(r+is)^n + (r-is)^n}{2}]^2 + [\pm \frac{(r+is)^n - (r-is)^n}{2i}]^2 = (r^2 + s^2)^n$$, где $r$ и $s$ натуральные взаимно простые числа, из которых одно чётное." Члены с числом i очевидно после раскрытия скобок сократятся. Далее по тексту можно прочесть "А Шинцель доказал элементарно, что все решения уравнения $$x^2 + 2y^2 = z^3$$ в натуральных числах $x, y, z$, где $x$ и $y$ взаимно простые числа, можно получить из тождества $$[r(r^2 - 6s^2)]^2 + 2[s(3r^2 - 2s^2)]^2 = (r^2 + 2s^2)^3$$, в котором $r$ и $2s$ взаимно просты."
Ну и по ссылке https://math.stackexchange.com/questions/2062185/prove-that-the-equation-ax2by2-z3-in-integers-has-infinitely-many-solution можно увидеть подобную запись для уравнения $$ax^2 + by^2 = z^3$$ Решения этого уравнения для взаимно простых $ax$ и $by$ можно получить из тождества $$a[u(au^2 - 3bv^2)]^2 + b[v(3au^2 - bv^2)]^2 = (au^2 + bv^2)^3$$, где $u$ и $v$ взаимно просты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли использовать решения уравнения AX2+BY2=Z3 ?
Сообщение23.07.2018, 18:31 


03/10/06
816
Наверное всё же правильно писать, что $au$ и $bv$ должны быть взаимно просты для приведённых решений. Возможно, что и чётность нужна в одной из сторон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли использовать решения уравнения AX2+BY2=Z3 ?
Сообщение26.07.2018, 17:48 


19/04/14
321
yk2ru в сообщении #1328345 писал(а):
Пока не понял одного, все ли решения даются для уравнения $ax^2 + by^2 = z^3$, или приводятся только те, которые несложно получить.

Уважаемый yk2ru!
Возникает еще один вопрос. Поставляют ли целые решения иррациональные числа $(u,v)$? Ведь произведение или сумма иррациональных могут быть натуральными числами. Поэтому надо доказать, что выражения, определяющие тройку решения $(X,Y,Z)$ не могут представлять целые числа, если $(u,v)$ - иррациональные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли использовать решения уравнения AX2+BY2=Z3 ?
Сообщение27.07.2018, 09:59 


03/10/06
816
А про рациональные вам ясно, что не поставляют? Раз спрашиваете про иррациональные только.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возможно ли использовать решения уравнения AX2+BY2=Z3 ?
Сообщение17.02.2021, 01:24 


03/10/06
816
binki в сообщении #1328976 писал(а):
Возникает еще один вопрос. Поставляют ли целые решения иррациональные числа $(u,v)$?

Про решение уравнения записано, что $(u,v)$ произвольные целые числа. Ни о каких расширениях в сторону рациональных или иррациональных чисел в статьях по ссылкам вроде бы не говорится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group