Физика гитарных подтяжек (guitar bends)

[demolishka]

При игре на гитаре (преимущественно на электрогитаре) часто используется прием (подтяжка), когда звук извлекается путем удара по приподнятой вверх или вниз струне.

(Оффтоп)

Как известно из экспериментов, звук при этом получается более высоким (чем выше подтяжка, тем выше звук). Из волнового уравнения следует, что частота звука обратно пропорциональна длине и прямо пропорциональна корню из натяжения.

При подтяжке и длина, и натяжение увеличиваются. Следовательно, если длина при подтяжке выросла в $\lambda > 1 $ раз, то натяжение должно увеличиться более чем в $\lambda^{2}$ раз (чтобы получался более высокий звук). Известен ли более точный закон? Или быть может тут замешаны еще какие-то явления?

UPD: При подтяжке масса струны не меняется, а длина меняется. Поэтому в этом случае частота обратно пропорциональна не длине, а корню из нее ввиду уменьшения линейной плотности.

[novichok2018]

Удар, остаётся ли модель линейной?

[EUgeneUS]

demolishka в сообщении #1504796 писал(а):

Из волнового уравнения следует, что частота звука обратно пропорциональна длине и прямо пропорциональна корню из натяжения.

Запишем это в виде формулы:

$\nu_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\rho}}$

Сила натяжения равна $T=k x$, где $k$ - жесткость струны на растяжение, $x$ - удлинение струны, которое это натяжение обеспечивает.
Выполним подтяжку: $\tilde{L} = L + \Delta L$, $\tilde{T} = k(x + \Delta x)$

Подставим и, принимая $\Delta L \ll L$, $\Delta x \ll x$, разложим до членов первого порядка малости:

$\tilde{\nu_n} = \frac{n}{2(L+\Delta L)} \sqrt{\frac{k(x + \Delta x)}{\rho}} \approx \nu_n (1 - \frac{\Delta L}{L} + \frac{\Delta x}{2 x}) $

Для простоты будем считать, что подтяжка выполняется на середине струны, тогда $2 \Delta L = \Delta x$, тогда
$\tilde{\nu_n} \approx \nu_n (1 + \Delta L (-\frac{1}{L} + \frac{1}{x})) $

Но в нашем случае $L$ - половина длины струны, а $x$ - это то, что намотано на колок для натяжения струны. Так как $L > x$, то частота уплывет вверх. ЧТД.

-- 12.02.2021, 08:40 --

UPD. Ещё есть эффект, что с растяжением струны уменьшается линейная плотность $\rho$. Но он слабый и играет тоже в сторону увеличения частоты.

[statistonline]

Могу ошибаться, но в бэндах ключевое - увеличение натяжения, а не изменение длины струны. Если струну сместить на величину $\triangle x$, то увеличение длины $\triangle L \sim \alpha\cdot \triangle x$ (угол в радианах), а дополнительное натяжение струны $\triangle T \sim \triangle x$.

-- 12.02.2021, 13:17 --

novichok2018 в сообщении #1504800 писал(а):

Удар, остаётся ли модель линейной?

бэнд и без удара работает, на звучащей струне.

[Red_Herring]

А не кажется ли Вам, что струна укорачивается, т.к. длину надо считать от точки прижима?

И, кстти, $\rho \sim \frac{1}\ell}$

[EUgeneUS]

statistonline в сообщении #1504818 писал(а):

то увеличение длины $\triangle L \sim \alpha\cdot \triangle x$ (угол в радианах),

Это неверно.
Если струна зажата посередине (равносторонний равнобедренный треугольник), то $2 \Delta L = \Delta x$, где $L$ - длина звучащего отрезка струны, а $x$ - удлинение струны, которое обеспечивает натяжение. И это соотношение от угла не зависит.

-- 12.02.2021, 12:29 --

Red_Herring в сообщении #1504819 писал(а):

А не кажется ли Вам, что струна укорачивается, т.к. длину надо считать от точки прижима?

Конечно, звучащая часть струны - это от точки прижима. Я это учитывал вот тут:

EUgeneUS в сообщении #1504801 писал(а):

Для простоты будем считать, что подтяжка выполняется на середине струны, тогда $2 \Delta L = \Delta x$, тогда
$\tilde{\nu_n} \approx \nu_n (1 + \Delta L (-\frac{1}{L} + \frac{1}{x})) $

Но в нашем случае $L$ - половина длины струны, а $x$ - это то, что намотано на колок для натяжения струны.

UPD: конечно, звучит часть струны, в этом смысле она укорачивается. Но речь-то о другом: струну зажали, а потом сдвинули вверх. Вот когда сдвинули вверх, звучащая часть струны удлинилась, из неравенства треугольника

[wrest]

demolishka в сообщении #1504796 писал(а):

Известен ли более точный закон? Или быть может тут замешаны еще какие-то явления?

Я думаю самый правильный метод тут -- измерить и потом подогнать формулу (аппроксимировать). Измерение тривиально и делается смартфоном. Интуитивно кажется, что эффект изменения длины пренебрежимо мал по сравнению с изменением натяжения. Хотя скрипачи, у которых нет ладов на грифе, тонируют и так и сяк.

[EUgeneUS]

Вот картинку нарисовал


$L = AO$ - звучащая часть зажатой струны. Без бенда
$\tilde{L} = AB$ - звучащая часть зажатой струны. C бендом.
$\Delta L = \tilde{L} - L = AB - AO$ - изменение длины звучащей части.
$\Delta x = AB+BC - AC$ - изменение полной длины струны, которое изменяет силу натяжения.

-- 12.02.2021, 12:48 --

wrest в сообщении #1504821 писал(а):

Интуитивно кажется, что эффект изменения длины пренебрежимо мал по сравнению с изменением натяжения

Не то чтобы пренебрежимо. Но раз в 10 где-то. Я же выше все расчеты привел.

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1504801 писал(а):

Но он слабый и играет тоже в сторону увеличения частоты.

Уточню все-таки. Эффект того же порядка, кроме того, тут одна и та же величина обозначена двумя разными буквами. Пусть мы зажимаем середину струны. Длина половинки струны увеличивается на $\Delta L.$ Вся струна удлинится на $2\Delta L.$ Масса половинки $m,\,\rho'=\frac{m}{L+\Delta L}.$ Тогда частота

$$\nu_n' = \frac{n}{2(L+\Delta L)} \sqrt{\frac{k(x+2\Delta L)(L+\Delta L)}{m}}=\frac{n}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{\frac{\frac{x}{L}+2\frac{\Delta L}{L}}{1+\frac{\Delta L}{L}}}\approx\frac{n}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}\left(\sqrt{\frac{x}{L}}+ \frac{\left(2-\frac{x}{L}\right)\frac{\Delta L}{L}}{2\frac{x}{L}}\right)$$

То есть, частота увеличивается, если не растягивать струну в два раза, что, конечно, нереально.

[warlock66613]

Red_Herring в сообщении #1504819 писал(а):

А не кажется ли Вам, что струна укорачивается, т.к. длину надо считать от точки прижима?

Струна удлиняется, так как длину надо считать не от точки прижима, а от ладового порожка.

[demolishka]

Всем большое спасибо за обсуждение. Особенно EUgeneUS.

Еще небольшое замечание к моему исходному наблюдению. При подтяжке масса струны не меняется, а длина меняется. Поэтому в этом случае частота обратно пропорциональна не длине, а корню из нее ввиду уменьшения линейной плотности. Так что нелинейный феномен, который меня изначально привлек, тут не имеет места , что и показали вычисления EUgeneUS и amon.

[EUgeneUS]

Ещё уточнения.
1. Да, я неверно оценил малость эффекта от изменения линейной плотности.
2.

demolishka в сообщении #1504920 писал(а):

При подтяжке масса струны не меняется, а длина меняется.

Играет роль только масса и длина звучащей части струны. Масса звучащей части струны не изменится, только если подтяжка выполняется на середине полной длины струны. В остальных случаях масса будет меняться.
В этом случае (подтяжка выполняется на середине полной длины струны, масса звучащей части не меняется), действительно, можно записать:
$\tilde{\nu_n} = \frac {n}{2} \sqrt{\frac{k(x + \Delta x)(L + \Delta L)}{m}} \approx \nu_n (1 + \Delta L(\frac{1}{2L} + \frac{1}{x}))$ (учитываем, что при подтяжке на половине полной длины струны $2\Delta L=\Delta x$)
и какой-либо эффект, сдвигающий частоту вниз просто отсутствует.

[EUgeneUS]

Чьёрт побьебри. Поспешишь, людей насмешишь

Правильно так:
$\tilde{\nu_n} = \frac {n}{2} \sqrt{\frac{k(x + \Delta x)}{m(L + \Delta L)}} \approx \nu_n (1 + \Delta L(-\frac{1}{2L} + \frac{1}{x}))$

[sergey zhukov]

Интересно. Возьмем струнну $L_0=1$м, подвесим ее к потолку. Подвесим снизу груз $m=1$ кг. Допустим, струна растянулась на $\delta L=1$мм и приобрела собственную частоту колебаний $\nu$.

Подвесим еще один груз $m=1$ кг. Струна растянется еще на 1 мм. В итоге ее длина и линейная плотность почти не изменились, а натяжение выросло вдвое. Собственная частота выросла почти только из-за увеличения натяжения и стала равна $\sqrt{2} \nu$. Пока $\delta L<<L_0$, все определяет натяжение. Но частота не может возрастать неограничено при неограниченном увеличении подвешенного груза.

Если бы линейность сохранялась без ограничений, то увеличивая подвешенный груз все больше и больше, мы достигли бы ситуации, когда наоборот, $\delta L>>L_0$. В этом случае учет изменения длины и линейной плотности вместе с натяжением струны приводит к тому, что частота перестает зависеть от массы подвешенного груза. Т.е. существует некоторая максимальная частота, превысить которую невозможно никаким натяжением такой струны.