Формулу Эйнштейна без тензоров

[Pi]

Вопрос по ОТО
Известно что
1) Уравнения Максвелла для электромагнитного поля записываются в терминах дивиргенций. роторов, производных.
2) Их же можно записать в тензорном виде для тензора энергии-импулса
3) Уравнение Эйнштейна для гравитации записывается в тензорном виде

А можно ли записать Уравнение Эйнштейна для гравитации в терминах дивиргенций. роторов, производных без использования тензоров на подобии Уравнении Максвелла?
Если да то ссылку или текст.
Если нет то почему.

[nestoklon]

Конечно же да. В терминах ковариантных производных

Домашнее задание -- показать, что дивергенция, ротор и прочее не имеют смысла в четырёхмерии.
UPD Плохо написал. Но как чётко сформулировать, не знаю. Попробуйте для начала показать, что величина, имеющая физический смысл подобный ротору векторного поля, не может быть записана в виде векторного поля в пространстве размерности, отличной от 3. Вот.

[Pi]

Ковариационные производные это тензоры.
Смысл сабжа именно чтоб были только обычные производные и тд. .

А почему обычные операции не имеют смысл в четырехмерии?

[nestoklon]

Pi в сообщении #150422 писал(а):

Ковариационные производные это тензоры.

Это неправильное утверждение. Они тензоры не более чем тот же ротор.

Pi в сообщении #150422 писал(а):

Смысл сабжа именно чтоб были только обычные производные

Думаю, можно. Но это будет существенно более громоздко чем уравнения максвелла в координатах. Оно вам надо?

Pi в сообщении #150422 писал(а):

А почему обычные операции не имеют смысл в четырехмерии?

Масса причин. Можно взять какую-нибудь операцию и обсудить. Абстрактно не готов. Я в апдейте указал ротор -- с ним всё максимально просто. С остальными тоже можно поиграться.

[Munin]

Pi в сообщении #150417 писал(а):

Известно что
1) Уравнения Максвелла для электромагнитного поля записываются в терминах дивиргенций. роторов, производных.
2) Их же можно записать в тензорном виде для тензора энергии-импулса

Нет. Их можно записать в тензорном виде для тензора электромагнитного поля. ТЭИ-то тут при чём?

Pi в сообщении #150417 писал(а):

А можно ли записать Уравнение Эйнштейна для гравитации в терминах дивиргенций. роторов, производных без использования тензоров на подобии Уравнении Максвелла?

Низя. Уравнения Максвелла записываются для антисимметрического тензора, который в трёхмерном пространстве может быть сопоставлен вектору (операция "звёздочка Ходжа"), и для этого вектора можно записывать векторные производные. А уравнение Эйнштейна записывается для симметрического тензора.

Pi в сообщении #150422 писал(а):

Смысл сабжа именно чтоб были только обычные производные и тд. .

Они только кажутся вам "обычными", в силу того, что вы к ним больше привыкли. На самом деле они не более обычны, чем тензорные производные. И в отличие от тензорных производных, они не обобщаются на произвольное число размерностей.

Pi в сообщении #150422 писал(а):

А почему обычные операции не имеют смысл в четырехмерии?

Это легко понять, если записать "обычные" операции через тензорные. Например, ротор от вектора есть аксиальный вектор, то есть на тензорном языке - антисимметрический тензор:
$\mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{Vec}=\nabla\times\mathbf{Vec}\quad\leftrightarrow\quad(\partial/\partial x_{\pmb{[}i})Vec_{j\pmb{]}}$
и вектор ему сопоставляется путём свёртки с $\frac{1}{2}\varepsilon_{ijk}$ (два индекса исчезают, один появляется). А в $n$-мерном пространстве абсолютно антисимметричный тензор имеет $n$ индексов: $e_{ij\ldots i_n},$ так что он даёт из тензора $2$ ранга тензор ранга $n-2$. Вектора не получается.

[Pi]

Munin писал(а):

Низя. Уравнения Максвелла записываются для антисимметрического тензора, который в трёхмерном пространстве может быть сопоставлен вектору (операция "звёздочка Ходжа"), и для этого вектора можно записывать векторные производные. А уравнение Эйнштейна записывается для симметрического тензора.

То есть как я понял симметрический тензор нельзя представить в виде аксиальных и полярных векторов которые необходимы для дивергенций, роторов?

А что нибудь на подобии дивергенций, роторов но для симметрического тензора существует?

Ну а в ковариционных дифференциалах это просто раскрытие матричной записи.

Добавлено спустя 34 минуты 6 секунд:

nestoklon писал(а):

Плохо написал. Но как чётко сформулировать, не знаю. Попробуйте для начала показать, что величина, имеющая физический смысл подобный ротору векторного поля, не может быть записана в виде векторного поля в пространстве размерности, отличной от 3. Вот.

Бред, Ротор определяется для произвольной размерности ибо не связан с диференциалами, а выражается через интегралы с приделами, который и получается в привычной форме с дифференциалами для 3-х мерного пространства.

[nestoklon]

Pi в сообщении #150432 писал(а):

Ротор определяется для произвольной размерности

Выпишите пожалуйста это определение, чтобы разговор был менее беспредметным. И покажите, как у вас в размерности отличной от 3 получается векторное поле. Повторяю ещё раз, медленно: не дифференциальная форма (на тензорном языке - антисимметрический тензор), а векторное поле.

[Munin]

Pi в сообщении #150432 писал(а):

То есть как я понял симметрический тензор нельзя представить в виде аксиальных и полярных векторов которые необходимы для дивергенций, роторов?

Да, нельзя. Симметрический тензор можно представить только в виде системы "[url="http://ru.wikipedia.org/wiki/Диада"]диад[/url]" (возможно, есть разные названия), которые по сути тензорные произведения двух векторов. Например, в трёхмерном пространстве в общем случае требуется три диады. Но это не даёт практически ничего: если к тензору применять операции дифференцирования, на язык диад их перевести будет весьма трудно и с неуклюжим результатом, без практической пользы.

Pi в сообщении #150432 писал(а):

А что нибудь на подобии дивергенций, роторов но для симметрического тензора существует?

Посмотрите, что такое дивергенции и роторы обычных векторов, но на тензорном языке:
$\mathop{\mathrm{grad}}\mathrm{Scal}\quad\leftrightarrow\quad(\partial/\partial x_i)Scal$
- тензорное произведение, повышающее ранг, так что из скаляра получается вектор
$\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{Vec}\quad\leftrightarrow\quad(\partial/\partial x_i)Vec_i$
- свёртка индекса оператора дифференцирования с индексом вектора
$\mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{Vec}\quad\leftrightarrow\quad(\partial/\partial x_{\pmb{[}i})Vec_{j\pmb{]}}$
- антисимметризация по двум индексам, одному от оператора дифференцирования и другому от вектора.
Дальше просто вместо вектора можно поставить тензор, и применять те же и аналогичные действия:
$\nabla\otimes T=(\partial/\partial x_k)T_{ij}$
$(\partial/\partial x_j)T_{ij}$
$(\partial/\partial x_i)T_{jj}$
антисимметризация даст тождественный нуль:
$(\partial/\partial x_{\pmb{[}k})T_{i\pmb{]}j}\equiv0$
потому что индексы можно переставлять в порядке $ijk\to jik\to kij\to ikj\to jki\to kji\to ijk,$ и при этом вернуться к исходному порядку, но по пути поменять знак три раза. Зато можно сделать симметризацию $(\partial/\partial x_{(k})T_{ij)},$ получится тензор, симметричный по всем трём индексам. Вообще получается довольно разнообразный спектр операций дифференцирования, что конкретно выбрать - зависит от того, для чего они используются.

Pi в сообщении #150432 писал(а):

Ну а в ковариционных дифференциалах это просто раскрытие матричной записи.

Что такое матричная запись?

Pi в сообщении #150432 писал(а):

Бред,

Вы поосторожнее с такими заявлениями, nestoklon знаком с этой темой намного лучше вас.

Pi в сообщении #150432 писал(а):

Ротор определяется для произвольной размерности ибо не связан с диференциалами, а выражается через интегралы с приделами, который и получается в привычной форме с дифференциалами для 3-х мерного пространства.

А вы лучше подумайте, как этот интеграл будет выглядеть в многомерном пространстве. Что там будет интегрироваться, и по чему. Вас ждут интересные открытия.

[Pi]

nestoklon писал(а):

Выпишите пожалуйста это определение, чтобы разговор был менее беспредметным.

Смотри например, википедию набери Ротор.

nestoklon писал(а):

И покажите, как у вас в размерности отличной от 3 получается векторное поле. Повторяю ещё раз, медленно: не дифференциальная форма (на тензорном языке - антисимметрический тензор), а векторное поле.

А причем тут векторное поле... Я спрашиваю о выражении в терминах дивергенций, роторов... А получается ли там векторное поле, математически - почему нет... А физическая интерпретация, это не тема этого сабжа[/quote]

Добавлено спустя 16 минут 16 секунд:

Munin писал(а):

Pi в сообщении #150432 писал(а):

Ну а в ковариционных дифференциалах это просто раскрытие матричной записи.

Что такое матричная запись?

Ну компоненты тензора записываются в виде матриц 4х4.

Munin писал(а):

Pi в сообщении #150432 писал(а):

Бред,

Вы поосторожнее с такими заявлениями, nestoklon знаком с этой темой намного лучше вас.

По всей видимости ????.
\operatorname{rot} _ \mathbf n \mathbf a=\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\oint_{L}\mathbf{ a\cdot \, dr}}{\oint_{S}dV}.
Внизу также стоит интеграл, я в несколько более полном виде ее знаю, но пришлось стащить из википедии ибо мне не напичатать такое.

Так вот речь идет об представлении в таком же виде и анлогичных понятий для гравитации.

[nestoklon]

Вы противоречите сами себе
1)

Pi в сообщении #150455 писал(а):

А причем тут векторное поле...

и потом.
2)

Pi в сообщении #150455 писал(а):

Я спрашиваю о выражении в терминах дивергенций, роторов...

Отвечаю: При том, что ротор -- это операция, посредством которой мы получаем из одного векторного поля другое. Если у вас есть другое определение, представьте.
ЗЫ Перед тем, как давать ссылки (даже и на википедию), полезно с ними ознакомиться.

[Pi]

Тогда и все таки почему для некой гиперповерхности ограничивающию некий гиперобъем подобные формулы
\operatorname{rot} _ \mathbf n \mathbf a=\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\oint_{V}\mathbf{ a \times \, dr}}{\oint_{S}dV}.
не дает векторное поле?
(не обращайте внимание на неточности в формуле - трудности печати - потом поправлю)
Важно другое - принципиально - почему не может давать векторное поле?
Например, используя внешние произведения...

И второе, более важное (и что имелось в виду при задании этого сабжа), используя раздельно 3-х мерное пространство и время раздельно как в уравнениях Максвелла.

[nestoklon]

Потому, что в пространстве размерности отличной от 3 нет операции векторного произведения. Внешнему произведению векторов не сопоставить вектор.

[Pi]

а как же http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2
Размерности, не равные трём

(точное использование именно векторного произведения не обязательно)


Ну и более важное (и что имелось в виду при задании этого сабжа), используя раздельно 3-х мерное пространство и время раздельно как в уравнениях Максвелла.

[Someone]

Pi в сообщении #150476 писал(а):

а как же http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0% ... 0%BE%D0%B2

Цитата:

Ясно, что такие физические величины будут иметь n(n − 1) / 2 независимых компонент в n-мерном пространстве.

Как-то на векторы это не очень похоже. Дюже много компонент.

[Pi]

Надож читать все
Размерности, не равные трём