Теплоёмкость (заочная олимпиада школьников)

[lel0lel]

Один моль гелия расширяется так, что температура увеличивается на $1,2\%$, а давление уменьшается на $0,8\%$. Найдите теплоёмкость газа в процессе расширения.

Что в этой задаче нехорошо -- не указан процесс расширения, от которого зависит работа газа. Но желаемый авторами ответ угадать несложно. Предлагаю попробовать.

[DimaM]

lel0lel в сообщении #1504131 писал(а):

Что в этой задаче нехорошо -- не указан процесс расширения, от которого зависит работа газа.

Вообще говоря, указан:

$$\frac{dT}{T}=-\frac{3}{2}\frac{dP}{P}.$$

(Оффтоп)

Получается политропа $PV^{2/5}=\operatorname{const}$, молярная теплоемкость на которой

$$C=R\frac{2/5-5/3}{(2/5-1)(5/3-1)}=\frac{19}{6}R,$$

если я нигде не накосячил.

[lel0lel]

DimaM в сообщении #1504133 писал(а):

Вообще говоря, указан:

$$\frac{dT}{T}=-\frac{3}{2}\frac{dP}{P}.$$

Действительно, если считать, что указанные проценты имеют место в каждой точке (как-то не подумал об этом). Значит всё хорошо с задачей. Мне же показалось, что речь идёт о полном изменении, то есть:

$$\frac{\Delta T}{T_1}=-\frac{3}{2}\frac{\Delta P}{P_1}.$$

[DimaM]

lel0lel в сообщении #1504136 писал(а):

Мне же показалось, что речь идёт о полном изменении, то есть:

$$\frac{\Delta T}{T_1}=-\frac{3}{2}\frac{\Delta P}{P_1}.$$

Строго говоря, так и есть. Но, поскольку эти дроби маленькие, можно приближенно считать $dP/P\approx\Delta P/P_1$.

[lel0lel]

DimaM в сообщении #1504141 писал(а):

Но, поскольку эти дроби маленькие, можно приближенно считать $dP/P\approx\Delta P/P_1$.

С этим вынужден не согласиться. Соотношения

$$\frac{p_2-p_1}{p_1} =0.012,\,\, \frac{T_2-T_1}{T_1}=-0.008$$

задают расположение конечной точки процесса относительно начальной в $pT-$координатах. Эти точки можно перенести в $pV$-координаты. Пусть они расположены относительно близко друг к другу, но мы легко можем провести такие процессы, соединяющие эти точки, в которых работа газа будет близка к нулю или наоборот будет бесконечно большая.

Ваше утверждение было бы верным, если бы было известно, что процесс достаточно гладкий. Но в условии этого нет (я привёл оригинальную формулировку).

[DimaM]

lel0lel в сообщении #1504146 писал(а):

Ваше утверждение было бы верным, если бы было известно, что процесс достаточно гладкий. Но в условии этого нет (я привёл оригинальную формулировку).

Вы, наверно, математик .
В физических олимпиадах все процессы достаточно гладкие.

[EUgeneUS]

А условие:

lel0lel в сообщении #1504131 писал(а):

Найдите теплоёмкость газа в процессе расширения.

можно ли трактовать так, что теплоемкость постоянна, а значит процесс политропный?

lel0lel в сообщении #1504146 писал(а):

Ваше утверждение было бы верным, если бы было известно, что процесс достаточно гладкий.

Поясните, пожалуйста про гладкость.
Есть две точки на PV-диаграмме. Их можно соединить разными кривыми, в том числе и гладкими.
Но только одна кривая будет соответствовать политропе.

[lel0lel]

EUgeneUS в сообщении #1504148 писал(а):

можно ли трактовать так, что теплоемкость постоянна, а значит процесс политропный?

Это хорошая мысль, но, возможно, требуется найти среднюю теплоёмкость при переходе.

EUgeneUS в сообщении #1504148 писал(а):

Поясните, пожалуйста про гладкость.

Про гладкость не совсем строгое высказывание. Можно нарисовать сколь угодно много гладких кривых, во внутренних точках которых дифференциальное соотношение не выполняется. Правильнее потребовать ограниченности модуля обезразмеренной производной (то есть не должно быть резких скачков). Это позволит считать, что работа при малом расширении не существенно отличается от работы в политропическом процессе, ровно как и в процессе, который в pV-координатах изображается отрезком прямой.

[Ignatovich]

Наверное, в условии достаточно было указать, что давление в рассматриваемом процессе все время убывает (изменяется монотонно).

[DimaM]

Да это же олимпиада школьников!
Естественно, все процессы гладкие. Естественно, теплоемкость постоянна. Естественно, малые приращения эквивалентны бесконечно малым.

[lel0lel]

DimaM
У меня возник вопрос по этой задаче вот по какой причине. Предположим школьник не знает дифференциального уравнения политропы (если не ошибаюсь, то этого нет в школьной программе). И вот он соединяет начальную и конечную точки отрезком, вычисляет площадь трапеции и находит среднюю теплоёмкость. Ясно, что его ответ будет отличаться от политропного примерно в 4 знаке после запятой. Следует ли считать такое решение верным, как вы считаете? Если да, то у меня нет претензий к задаче.

[DimaM]

lel0lel в сообщении #1504161 писал(а):

Следует ли считать такое решение верным, как вы считаете? Если да, то у меня нет претензий к задаче.

А это для какого класса задача?
Если для 10, то я бы зачел такое решение. Если для 11, то снял бы примерно треть баллов.

[lel0lel]

Это задача для 10 класса, и, по-моему, была предусмотрена форма для записи числового ответа в виде десятичной дроби. Не думаю, что требовали ответ с точностью до 4 знака после запятой. Так что всё справедливо.

[DimaM]

lel0lel
Если предполагался численный ответ, то считаю ваш способ совершенно корректным.