Совместная и условная плотности

[Sunt]

Добрый день. Имеется случайная величина $X$ имеющая распределение $Unif[-1, 1]$.
И $Y=X+|X|X$. Нужно найти совместную плотность вектора $(X, Y)$. А также нужно найти условную плотность $Y|X$. По идее это эквивалентные задачи, одно считается через другое. Но как найти одну из этих функций?

У меня была идея через преобразование случайного вектора посчитать. Но какой вектор преобразовывать? И здесь модуль т.е. функция не гладкая. А условную плотность вообще не знаю как посчитать без совместной.

[adfg]

здесь не может быть совместной плотности так как это двумерное распределение сосредоточено на одномерной кривой, которая есть множество меры ноль

[Sunt]

@adfg: спасибо, примерно понимаю, но не до конца. Не могли бы Вы чуть подробнее рассказать?

Например, если вместо $|X|$ возьмем $\xi$ независимое с $X$. То такой аргумент работает или нет? В этом случае $Y$ также будет зависим с $X$.

[adfg]

Sunt писал(а):

Например, если вместо $|X|$ возьмем $\xi$ независимое с $X$. То такой аргумент работает или нет? В этом случае $Y$ также будет зависим с $X$.

Конечно зависим, но в этом случае будет распределен на всем пространстве, в отличии от предыдущего случая, так что если $\xi$ сама имеет плотность, будут существовать обе плотности, совместная и условная. Проще говоря, при фиксированном $X$ в первом случае $Y$ определен однозначно, поэтому условное распределение там вырождено и представляет собой атомарную меру, сосредоточенную в одной точке. Во втором же случае будет полноценное условное распределение, поскольку появилась дополнительная независимая переменная, вдоль которой и будет строиться условная мера