Простое неравенство

[novichok2018]

Увидел на архиве
https://arxiv.org/abs/2102.01324
простое неравенство

$$ x^p+(1-x)^{1/p}\leq 1, x\in [0;1/2], p>1. $$

Там есть доказательство, но не совсем простое. Есть короткое элементарное доказательство?

[lel0lel]

Запишем в виде $1-x\leq (1-x^p)^p$. Функции $1-x, (1-x^p)^p$ монотонно убывают на интервале $(0,1)$. Исследуя производные $(1-x^p)^p$ на краях интервала заключаем, что уравнение $1-x=(1-x^p)^p$ имеет хотя бы один корень внутри интервала. Исследуя вторую производную $(1-x^p)^p$, можно показать что корень внутри рассматриваемого интервала только один; причём слева от корня исходное неравенство верно. Теперь определим куда этот корень движется с ростом $p$. Есть несколько способов, один из них это вычислить производную $\frac{dx_m}{dp}$ неявно заданной функции внутреннего корня $x_m(p)$. Она оказывается положительной, то есть с ростом параметра $p$ корень смещается вправо. Остаётся показать, что $x_m\to 1/2+0$ при $p\to 1+0$, это довольно просто.

[novichok2018]

lel0lel - спасибо, это понятный путь, он применяется и в процитированной статье, только надо не забывать, что задача на отрезке $[0;1/2]$. Я понадеялся, что это неравенство сразу следует из некоторого известного, поэтому задал вопрос.
Чуть более общая задача: описать множества параметров $a,b$, для которых выполнено неравенство

$$ x^a+(1-x)^b \leq 1 $$

на множествах $x\in [0;1/2]$ и $x\in [0;1]$ (если это не одно и то же).

[lel0lel]

novichok2018 в сообщении #1504047 писал(а):

только надо не забывать, что задача на отрезке $[0;1/2]$.

Так вроде и не забывали. Интервал (0,1) рассматривали для того, чтобы отследить движение внутреннего корня от 1/2 к 1 с ростом $p$. А поскольку левее этого корня неравенство выполнено, то стало быть оно выполнено на интервале$[0,1/2]$.