Не бином Ньютона?

[Divergence]

Вопрос: Можно ли выразить запись дифференциального оператора

$$\prod^{n}_{k=1} \left(a\frac{d}{dx} +b+k\right)$$

с виде близком к биному Ньютона

$$\prod^{n}_{k=1} \left(a\frac{d}{dx} +b\right) = \sum^n_{k=0} (C^n_k b^{n-k} a^k) \frac{d^k}{dx^k}$$

Другими словами, выделить коэффициенты перед производными и получить ряд по производным.

Понял, что это скорее похоже на символ Похгаммера.
https://en.wikipedia.org/wiki/Falling_a ... factorials
В силу этого, не существует общей формулы вида

$$\prod^{n}_{k=1} \left(a\frac{d}{dx} +b+k\right) = \sum^n_{k=0} f(a,b,n,k) \frac{d^k}{dx^k}$$

и нельзя найти функцию $f(a,b,n,k)$, или все же можно?

[arseniiv]

Divergence в сообщении #1503895 писал(а):

В силу этого, не существует общей формулы вида

$$\prod^{n}_{k=1} \left(a\frac{d}{dx} +b+k\right) = \sum^n_{k=0} f(a,b,n,k) \frac{d^k}{dx^k}$$

и нельзя найти функцию $f(a,b,n,k)$, или все же можно?

Ну вообще-то на той странице прямым текстом написано, что возрастающая факториальная степень выражается через обычные с помощью чисел Стирлинга первого рода, так что произведение $\prod_{k = 0}^{n-1} (A + k)$ вы сведёте к степеням $A$, где $A = aD + b$, ну и это уже биномы Ньютона. Получится двойная сумма, и дальше может быть какое-то её упрощение также будет возможно, но я не Кнут, можете попробовать покопаться в «Конкретной математике» его с соавторами.

[Divergence]

arseniiv Большое Спасибо! К сожалению раньше не знал про числа Стирлинга.

[arseniiv]

Divergence
Советую тогда полистать упомянутую «Конкретную математику», там много полезных вещей упоминается по многим темам, граничащим с дискретной математикой, CS, «дискретным тервером» (когда элементарных исходов не более чем счётно, и многие вещи упрощаются). Про остатки, про полы и потолки, про последовательности и рекуррентные соотношения… Не всё, что можно хотеть, но большой кусок базы точно.

[Divergence]

arseniiv Спасибо за ссылку!