Дифференциальные формы

[ErVynShred]

Получается, что в формуле звезды Ходжа $n - k$ свободных индексов, т.е. $i^{k+1}, i^{k+2}, \dots , i^n$ остальные $i^1, i^2, \dots , i^k$ относятся к компоненте формы $\omega^{i^1, i^2, \dots , i^k}$, они с ней сворачиваются и остаётся только $n - k$ индексов.
Если $n = 2, k = 1$, то $\omega^k$ - это 1-форма, после применения звезды Ходжа это уже 2-форма: $\frac{1}{1!}\sqrt{\left\lvert g \right\rvert}\varepsilon_{i^1, i^2}g^{\alpha i^1}\omega_{\alpha}$, пусть для удобства $\sqrt{\left\lvert g \right\rvert} = 1$

[Slav-27]

ErVynShred в сообщении #1503501 писал(а):

Если $n = 2, k = 1$, то $\omega^k$ - это 1-форма, после применения звезды Ходжа это уже 2-форма

Нет, если $n=2$ и $k=1$, то $n-k=1$, а не $2$. Кроме того, если $k=1$, то $\omega^k=\omega^1$, и это функция (0-форма), а не 1-форма.

[ErVynShred]

Случайно оговорился, конечно после применения звезды будет 1-форма, а форма - это $\omega$, а не $\omega^k$, а как можно представить себе эту операцию с геометрической стороны, на предыдущих страницах были картинки, но я их не совсем понял. Мы, как-бы, применяем элемент объёма к форме, и добавляем ещё и факториальный множитель, тем самым понижаем её степень, сам объём ориентированный. Возможно это представляется так: мы берём, например многообразие $\mathbb{R}^3$ для удобства, и если представить себе, к примеру, 2-форму, как ориентированную площадь, то применение элемента объёма, звезды Ходжа, как-бы высекает эту площадь, т.е. исключает " две оси"- это всё очень образно звучит, остаётся - третья, отвечающая степени получившейся формы, т.е. так как пространство 3-мерное, а ось осталась все одна, конечно, это всё нужно в декартовых координатах рассматривать, то и выходит 1-форма. Это сугубо моё понимание. Оно хотя-бы близко стоит с настоящим?

[Slav-27]

Ненулевому разложимому $k$-вектору (или $k$-форме, неважно, звёздочка Ходжа определена для любого ориентированного евклидова пространства) $\alpha=u_1\wedge...\wedge u_k$ сопоставляем разложимый $(n-k)$-вектор $\star\alpha$ в ортогональном дополнении к линейной оболочке $u_1,...,u_k$, имеющий такой же объём: их ровно два -- берём тот из них, чтобы $\alpha\wedge\star\alpha$ было положительно. Этим вкупе с линейностью звёздочка однозначно определяется. Если не евклидово, а псевдоевклидово, то, думаю, тоже можно как-то так сказать.

UPD. Я даже понял как. Надо "ненулевому разложимому $k$-вектору" поменять на "разложимому $k$-вектору ненулевого объёма". UPD 2. А ещё надо "чтобы $\alpha\wedge\star\alpha$ было положительно" поменять на "чтобы оно было одинакового знака с объёмом $\alpha$" (то есть $+$, если ограничение метрики на линейную оболочку $u_1,...,u_k$ имеет чётное число минусов в сигнатуре, и $-$, если нечётное).

[ErVynShred]

И последний вопрос. Есть, к примеру, так называемая 2-форма Фарадея, она из области классической электродинамики. Выглядит следующим образом: $F = {\frac{1}{2}}{F_{{\mu}{\nu}}dx^{\mu}} \wedge dx^{\nu}$, по факту, $F_{{\mu}{\nu}}$ является тензором электромагнитного поля и определяется через: $F_{{\mu}{\nu}} = \frac{\partial A_{\nu}}{\partial x^{\mu}} - \frac{\partial A_{\mu}}{\partial x^{\nu}}$, т.е. через ротор.
Так вот, как мне явно получить тот же самый тензор, его компоненты $F_{{\mu}{\nu}}$ , но уже из 2-формы, как и в случае с ротором? Что в таком случае сделать с $dx^{\mu} \wedge dx^{\nu}$ Может быть из этой 2-формы можно получить выражение $F_{{\mu}{\nu}} = \frac{\partial A_{\nu}}{\partial x^{\mu}} - \frac{\partial A_{\mu}}{\partial x^{\nu}}$ аналогичное случаю с ротором?

[Slav-27]

$F=dA$, где $A=A_idx^i$ (а вопрос я не понял).

[пианист]

Видимо, имеется в виду, что вторая пара уМ пишется в виде $d*F = 0$.
Глянуть можно, например, вот тут, третья страница от начала.

[ErVynShred]

Отлично! Спасибо всем за помощь и информативные ответы.

[ErVynShred]

Если кто-нибудь ещё сюда зайдёт, хотелось бы проверить правильность выкладок. Я решил сам попробовать выразить форму связности и кривизны, пользуясь соответственно самими выражениями для тензора кривизны и связности(ков.производной).
Собственно, оператор производной: $\nabla_{\alpha} = \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} + A_{\alpha}$, где второй член означает коэффициенты связности.
Выражение для тензора кривизны, к примеру: ${\nabla_{\mu}}{\nabla_{\nu}}\psi - {\nabla_{\nu}}{\nabla_{\mu}}\psi = \left( \frac{\partial A_{\nu}}{\partial x^{\mu}} - \frac{\partial A_{\mu}}{\partial x^{\nu}} \right)\psi + \left[A_{\mu}, A_{\nu} \right] = A_{{\nu}{\mu}} - A_{{\mu}{\nu}} + \left[A_{\mu}, A_{\nu} \right] = F_{{\mu}{\nu}} \cdot \psi$.
А теперь форма связности: $\nabla = \Psi = \boldsymbol{d} + \boldsymbol{A}$, т.е. в координатном виде:
$\nabla_{\alpha} = \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}dx^{\alpha} + A_{\alpha}dx^{\alpha} = \partial_{\alpha}dx^{\alpha} + A_{\alpha}dx^{\alpha}$.
Тогда форма кривизны, например $\boldsymbol{\Phi} = \boldsymbol{d}\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A} \wedge \boldsymbol{A}$, или опять же, в координатном: ${\frac{\partial A_{\mu}}{\partial x^{\nu}}}dx^{\mu} \wedge dx^{\nu} + \left ( A_{\mu}dx^{\mu} \right ) \wedge \left( A_{\nu}dx^{\nu} \right)$, правильно ли это?

[пианист]

Вроде похоже. Только у Вас во второй формуле $\psi$ то появляется, то исчезает.
Если что, в лекции по ссылке эта выкладка приведена, сверьтесь.