Вращение двух шариков связанных нитью

[Fizykochemik]

Уважаемые Коллеги,
есть задачка:
"Два груза массами $m$ и $2m$ соединены идеальной
нитью длины $L$. Нить пропущена через кольцо,
укреплённое на нижнем конце вертикального стержня. С
какой угловой скоростью нужно вращать стержень, чтобы
угол между концами нити составлял 90 градусов?"



Мое решение следующее, я ввел силу натяжения нити $T$ и угол $\alpha$ между
левой частью нити и горизонтем. Проекции силы натяжения на горизонтальную ось суть центростремительные силы.

$ \begin{cases} 3mg=T(\sin(\alpha)+\cos(\alpha)), \\ 2m\omega^2r_1=T\cos(\alpha), \\ m\omega^2r_2=T\sin(\alpha), \\ l_1\cos(\alpha)=r_1, l_2\sin(\alpha)=r_2, l_1+l_2=L. \end{cases}$

Отсюда легко можем получить $\omega$. Нет ли ошибки в моих рассуждениях? Можно ли тут обойтись без углового момента?

[rascas]

Fizykochemik в сообщении #1503058 писал(а):

центростремительные силы

Fizykochemik в сообщении #1503058 писал(а):

Можно ли тут обойтись без углового момента?

Что такое угловой момент? И где он у Вас здесь применяется?

Fizykochemik в сообщении #1503058 писал(а):

Отсюда легко можем получить $\omega$. Нет ли ошибки в моих рассуждениях?

Ваша система уравнений не решается. Шесть уравнений и семь неизвестных ($T, \alpha, \omega, l_1, l_2, r_1, r_2$) !

[EUgeneUS]

Fizykochemik в сообщении #1503058 писал(а):

С
какой угловой скоростью нужно вращать стержень, чтобы
угол между концами нити составлял 90 градусов?"

Я бы ответил, что с никакой.
Конечно, можно найти угловую скорость, при которой описанная конструкция будет в равновесии. Но это будет неустойчивое положение равновесия.

[Fizykochemik]

$\alpha$ это параметр, $\omega^2=\frac{9g}{2L(\sin(\alpha)+\cos(\alpha))}$.

[EUgeneUS]

Fizykochemik в сообщении #1503068 писал(а):

$\alpha$ это параметр,

Да ладно.
Тогда уж в качестве параметра следует выбрать относительную длину плеч нити, или длину одного плеча. Это хотя бы физично - означает, что нитку в кольце зажали.
Но тогда Ваши уравнения не подходят.

[rascas]

Fizykochemik в сообщении #1503068 писал(а):

$\omega=\frac{9g}{2L(\sin(\alpha)+\cos(\alpha))}$

Эта формула не проходит проверку на размерности!

[Fizykochemik]

EUgeneUS в сообщении #1503071 писал(а):

Да ладно.
Тогда уж в качестве параметра следует выбрать относительную длину плеч нити, или длину одного плеча. Это хотя бы физично - означает, что нитку в кольце зажали.
Но тогда Ваши уравнения не подходят.

Да, Вы правы, не хватает одного уравнения.

-- 28.01.2021, 13:50 --

rascas в сообщении #1503073 писал(а):

Эта формула не проходит проверку на размерности!

Поправил ошибку. Спасибо.

[Fizykochemik]

Если ввести ускорения шариков $a$ тогда система уравнений выглядит следующим образом и она решаема при условии, что $\alpha$ известно.

$ \begin{cases} T\sin(\alpha)-2mg=2ma\sin(\alpha), \\ mg-T\cos(\alpha)=ma\cos(\alpha), \\ T\cos(\alpha)-2m\omega^2r_1=2ma\cos(\alpha) \\ m\omega^2r_2-T\sin(\alpha)=2ma\sin(\alpha) , \\ l_1\cos(\alpha)=r_1, l_2\sin(\alpha)=r_2, l_1+l_2=L. \end{cases}$

Нигде не ошибся знаком?

[StepV]

Fizykochemik в сообщении #1503094 писал(а):

Нигде не ошибся знаком?

Если плечи $l_1$ и $l_2$ разные, то и углы слева и справа будут разные. Т.е надо
вместо $\alpha$ вводить $\alpha_1$ и $\alpha_2$.
Не хватает условия, чтобы вычислить плечи вращения, может условие задачи написано неполностью?

[Fizykochemik]

Справа угол $\frac{\pi}{2}-\alpha$ по условию задачи

[StepV]

Fizykochemik в сообщении #1503114 писал(а):

Справа угол $\frac{\pi}{2}-\alpha$ по условию задачи

То, что $\alpha_1 = \frac{\pi}{2}-\alpha$, к сожалению ничего не дает. Я не знаю, как определить плечи вращения.
Может каждое плечо равно $L$ или $\frac L 2$, потому что нить закреплена?

[Утундрий]

Fizykochemik писал(а):

$ \sin(\alpha), \cos(\alpha)$

Всегда писали $\sin \alpha$ и не заморачивались...

[StepV]

Fizykochemik в сообщении #1503068 писал(а):

$\alpha$ это параметр

Посчитал численно на компьютере по вашим данным. Приведу для примера.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $R_1$ & $R_2$ & $\omega$ & $l_1$ & $l_2$ & $L$ & $\alpha_1$ & $\alpha_2$ \\ \hline 0,8 & 0,2 & 5 & 0,89 & 1,79 & 2,69 & 26,57 & 63,43 \\ \hline \end{tabular}

Углы в градусах.

[rascas]

StepV, ошибки в Вашей таблице:
$l_1=\frac{R_1}{\cos\alpha_1} = \frac{0.8}{\cos 26.57°} \simeq 0.89$ - это правильно.
$l_2=\frac{R_2}{\cos\alpha_2} = \frac{0.2}{\cos 63.43 °} \simeq 0.45$ - в таблице 1.79 -- ошибка
$L=l_1+l_2 = 0.89 + 0.45 = 1.34$ - в таблице 2.69 -- ошибка

Остальные значения в таблице вроде правильные.
(Груз массой $2m$ разумеется находится на радиусе $R_2$)

[StepV]

rascas в сообщении #1503184 писал(а):

ошибки в Вашей таблице:

Спасибо! Посмотрел на компьютере. Действительно, в формулу для $l_2$ подставил $R_1$ вместо $R_2$. Естественно, и сумма неправильная.

(Оффтоп)

Интересно! Можно ли исправлять старые посты? У меня нет на этот пост никакой кнопки "Правка". Надо бы было исправить непосредственно в таблице.