Разбиение Хегора для RP3

[GYNJ]

Хочу найти разбиение Хегора вещественного проективного пр-ва $ \mathbb{R}P^{3} $

Первое что пришло в голову это $ \mathbb{R}P^{3}=S^{3}/\mathbb{Z}_{2}=D^{2}_{1} $ $\cup$_{f}D^{2}_{2}/(f, \mathbb{Z}_{2}) Здесь f- это гомеоморфизм краев двух шаров. Дальше не знаю как, но создается впечатление что разбиением будут те же два шара, но с более хитрим гомеоморфизмом.
в книжке есть подсказка: рассмотреть $ L(p,q) $. Конечно $ \mathbb{R}P^{3} $ гомеоморфен $ L(2,1) $, но формально лишь, ведь такого многообразия не существует, но в то же время, например, $ L(4,2) $ вполне существует и $ L(p,q)=L(m*p,m*q) $

[GYNJ]

Ах да, я не сказал что через $ L(p,q)$ я обозначил линзовое пространство, По идее линзу можно представить как разбиение Хегора двух полноторий: ну например берем цилиндр $x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+x^{2}_{3}\leqslant 1, x^{2}_{1}+x^{2}\leqslant 1/2 $ - у него сферические основания, их и факторизуем по циклической группе - это будет первое полноторие, а второе полноторие это то что осталось от трехмерного шара после вырезания оставшегося цилиндра. тогда получается что $ \mathbb{R}P^3 % разбивается на два полнотория, но все еще не ясно что за гомеоморфизм склейки. Может быть если выбрана линза [math]$ L(4,2)$ то надо склеить параллели первого полнотория с мередианами второго, но перед этим второй "скрутить на $ 180^\circ $ так как действует группа $ \mathbb{Z}_{4} $?

[Slav-27]

GYNJ в сообщении #1499554 писал(а):

Конечно $ \mathbb{R}P^{3} $ гомеоморфен $ L(2,1) $, но формально лишь, ведь такого многообразия не существует,

Почему не существует??

Если верить, что оно линза, то никаких проблем не вижу, линзы клеются из полноторий. Изотопический класс вложения окружности в тор определяется "уклоном" $p/q\in\mathbb Q\cup\{\infty\}$, где $p$ и $q$ -- это сколько раз она намотана "по широте" и "по долготе". Если взять 2 полнотория и склеить их по диффеоморфизму краёв, отождествляющему окружность уклона $p/q$ на крае одного ($p,q$ взаимно просты) с меридианом другого, то получится $L(p,q)$. (Или параллелью? Не знаю, кто у него там кто.)

[GYNJ]

Slav-27 в сообщении #1500896 писал(а):

Почему не существует??

Я просто считал первоначальным определением линзы как специальную факторизацию некоторой бипирамиды, в основании которой p-угольник.
В то же время, даже если использовать как определение $L(p;q)=S^{3}/\mathbb{Z}_{p}$, то тоже линза определена для любой пары p; q.

Так а что в итоге, верно ли что разбиение Хегора $ \mathbb{R}P^{3}$? Ну, если моя склейка полноторий не верна, то просто ее заменю на вашу.

[Slav-27]

GYNJ в сообщении #1501247 писал(а):

Я просто считал первоначальным определением линзы как специальную факторизацию некоторой бипирамиды, в основании которой p-угольник.

Я знаю вот такое определение. Пусть $p>q\geqslant 1$ -- взаимно простые натуральные числа. Рассмотрим действие циклической группы порядка $p$ на 3-сфере $\{(z,w)\in\mathbb C^2\;\big|\;|z|^2+|w|^2=1\}$: $1\in\mathbb Z_p$ переводит $(z,w)\mapsto (e^{\frac{2\pi i}p}z,e^{\frac{2\pi qi}p}w)$. Это действие свободно, поэтому фактор-пространство -- 3-многообразие, которое называют линзовое пространство $L(p,q)$, а фактор-отображение -- универсальное накрытие.

(Оффтоп)

И поэтому $\pi_1(L(p,q))\simeq\mathbb Z_p$. Обратно, любое замкнутое 3-многообразие с конечной циклической фундаментальной группой гомеоморфно какому-то линзовому пространству или 3-сфере (про неё можно думать как про линзовое пространство с $p=q=1$). Это трудная теорема, включающая, в частности, гипотезу Пуанкаре.

Если $p$ и $q$ не взаимно просты, то действие несвободно, и поэтому сразу не очевидно, что фактор будет многообразием; а даже если будет, фактор-отображение всё равно не будет накрытием. Впрочем, в этом конкретном случае можно проверить, что $L(kp,kq)$ всё-таки гомеоморфно $L(p,q)$ для любого натурального $k$.

Пользуясь этим определением, легко указать нужный тор: он задаётся уравнениями $|z|^2=|w|^2=\frac12$ и разделяет полнотория $|z|^2\leqslant\frac12$ и $|w|^2\leqslant\frac12$, их образы в факторе -- то, что надо.

Ваша конструкция может быть и правильная, но мне сложно её понять.

Прошу прощения за задержку с ответом. Если спросите что-то ещё, то я постараюсь ответить.

[GYNJ]

Спасибо, я именно такое и имел в виду разбиение, как у вас, а у себя только что заметил опечатку в том сообщении