Дифференциальные формы

[ErVynShred]

Здравствуйте, уважаемые, я не так давно начал проходить дифференциальные формы, и спустя какое - то время возникло несколько вопросов:
Первый, $dx^i$ - дифференциалы координат, они, если их интерпретировать как смещения, являются контравариантными векторами, в пространстве k-форм задаётся данный базис:
$dx^1 \wedge dx^2 \dots \wedge dx^i$, но $dx^i$ - контравариантный, а базис должен быть ковариантным, правильно ли я понимаю, что $dx^i$ будет ковариантным базисным вектором, т.к. что
$e^k = \frac{\partial x^k}{\partial x^i}e^i$, что $dx^k = \frac{\partial x^k}{\partial x^i}dx^i$, то есть дифференциал координат преобразуется также, как и ковариантный базисный вектор, а потому его можно представить как тот же базисный ковектор, я правильно понимаю?
Второй, ясно, как $dx^i$ действует на обычный вектор из касательного пространства, он просто "возвращает" его i-ую координату, всякий кососимметрический ковариантный тензор можно разложить по данному ковариантному базису: $T = T_{i^1, i^2, \dots i^j}dx^{i^1} \wedge dx^{i^2} \wedge \dots \wedge dx^{i^j}$, коэффициенты, стоящие перед базисными формами являются компонентами данного тензора, а как они действуют на вектор, или они являются просто гладкими функциями, которые зависят от именно координат точки многообразия?

[Padawan]

$dx^i$ -- компоненты контравариантного вектора. $dx^1$ -- форма.

[пианист]

ErVynShred
Базис преобразуется обратным (по отношению к векторам) образом; базис векторного пространства - как компоненты пространства форм, базис пространства форм - как компоненты векторного пространства.

(Оффтоп)

Если интересно, почему так, представьте себе: мы отображаем множество $X$ во множество $Y$, при этом, наоборот, множество функций $C(Y)$ отобразится во множество $C(X)$.

Действуют формы, в ч., базисные, $dx^{i^1} \wedge dx^{i^2} \wedge \dots \wedge dx^{i^j}$. Коэффициенты это числа, почему/в каком смысле они должны как-то действовать на векторы?

[ErVynShred]

Коэффициенты никак не действуют на числа, судя по всему, когда я разбирал одну из задач, я перепутал базисные формы с коэффициентами.
И ещё один небольшой вопрос: можно ли раскладывать, как я писал выше, кососимметрический ковариантный тензор по базисным формам или же просто каждому координатному представлению этого тензора, например, $Q_{i^1, i^2, \dots i^k} $ соответствует дифф.форма $\omega^k = Q_{i^1, i^2, \dots i^k}dx^{i^1} \wedge dx^{i^2} \wedge \dots \wedge dx^{i^k} $&? У меня с этим путаница возникает, мы раскладываем тензор по этому базису или просто есть соответствие между его координатами и дифф. формой.

[пианист]

Не уловил смысл предложенной альтернативы.
Вектор всегда и любой можно разложить по базису, на то он и базис. При этом получаем соответствие между векторами и наборами компонент (однозначное - опять же, свойство базиса). К пространству тензоров это, конечно, тоже относится.

[ErVynShred]

Всё, понял, спасибо вам. Извиняюсь за излишнее недопонимание.

[пианист]

Можно идти от обратного, вектором называть набор компонент. В этом случае эти наборы становятся (будут интерпретироваться как) коэффициентами разложения по базису
$\left( \begin{array}{ccc} 1 & .. & 0\\.. & .. & ..\\ 0 & .. & 1 \end{array} \right)$

(Оффтоп)

ErVynShred в сообщении #1502791 писал(а):

Извиняюсь за излишнее недопонимание

Совершенно не в чем извиняться. Нормальные и естественные вопросы. Вас там дальше ожидают еще одни грабли, связанные с тем, что в наборе $dx^{i^1} \wedge dx^{i^2} \wedge \dots \wedge dx^{i^j}$ есть лишние векторы (выражаемые через остальные).

[ErVynShred]

Дифференциальную 1-форму можно представить как линейный функционал, т.е. является ковектором: $V = V_{i}dx^i$ она отображает элементы касательного пространства, т.к. оно является векторным в, например поле вещественных чисел:
$V = \omega^1 $, $\omega^1 \colon T_{p}M \to \mathbb{R} $, если просто взять конкретный тензор в точке многообразия, то получится внешняя форма, а если взять тензорную функцию, тоже в точке например, то уже - дифференциальная форма, если дифф. 1-форма интерпретируется как функционал, то как можно представить себе действие дифф. k-формы? Действует она на касательном пространстве, но куда отображает?
Можно ли дифференциальную k-форму представить(разложить) как k-дифференциальных 1-форм, т.е. чтобы из одной k-формы получилась цепочка из 1-форм, в количестве k-штук? И тогда, как я понимаю, каждая из этих 1-форм(которых k-штук) подействует на, например на k-векторов из разных касательных пространств, которые в некотором случает будут составлять гладкую кривую на многообразии?

[arseniiv]

ErVynShred в сообщении #1502903 писал(а):

Можно ли дифференциальную k-форму представить(разложить) как k-дифференциальных 1-форм, т.е. чтобы из одной k-формы получилась цепочка из 1-форм, в количестве k-штук?

Неа. Например 1-форма в $n$-мерном пространстве имеет $n$ координат в каком-то базисе, а 2-форма имеет уже $\binom n2 = n(n-1)/2 \not\equiv 2n$ координат и т. д., и $n$-форма имеет вообще одну координату, а не $n^2$ (и логично дальше считать, что $m$-форма для $m > 0$ имеет ноль координат, потому что такие формы всегда тождественно нулевые, ну и это согласуется со значениями $\binom nm$). Кроме того скалярное поле — это 0-форма, и оно тоже имеет одну координату, а не $0n$.

-- Ср янв 27, 2021 02:57:51 --

К $m$-форме можно применить вектор и получить $(m-1)$-форму, и требования к этой операции довольно понятно выглядят — если форма представима как внешнее произведение двух форм, мы применяем вектор к каждой из них в её составе по отдельности и всё это суммируем (с правильно подобранными знаками, чтобы эта операция хорошо соотносилась со внешним произведением). В индексной же записи это просто свёртка по первому индексу с вектором.

[пианист]

ErVynShred
Полезно еще ознакомиться с таким предметом как звезда Ходжа (только не по русской википедии).

[ErVynShred]

Нескромный вопрос, как перейти к выводу формулы для звезды Ходжа? Есть ли какая-нибудь геометрическая интерпретация этой операции?
И можно ли представить $\varepsilon_{i^1, i^2, \dots i^k}$ как $\varepsilon_{i^1, i^2, \dots i^k} = dx^{i^1} \wedge dx^{i^2} \wedge \dots \wedge dx^{i^k}$ ? Я где-то подобное видел. Ведь как я понимаю, данное $\varepsilon$ - это тензор Леви-Чивита?

[epros]

пианист в сообщении #1502922 писал(а):

Полезно еще ознакомиться с таким предметом как звезда Ходжа (только не по русской википедии).

А есть ли приличные учебники, где дуальность Ходжа не только определяется формально, но и рассматривается с позиции геометрического или физического смысла?

Например, если в некой точке трёхмерного многообразия взять пару векторов $d\xi^i$ и $d\eta^j$, то если определить полностью антисимметричную ковекторную анти-плотность $e_{ijk}$, такую, что $e_{123}=1$, то можно определить "ориентированный элемент поверхности" $dS_k$, как $dS_k=d\xi^i d\eta^j e_{ijk}$, который геометрически является параллелограммом со сторонами, заданными данной парой векторов, и при этом преобразуется как ковекторная анти-плотность. Таким образом, поверхностный интеграл:

$$\int\limits_S A^k dS_k$$

является инвариантом (скаляром), если $A^k$ является векторной плотностью. Видно, что по физическому смыслу этот интеграл представляет собой поток поля $A^k$ через поверхность $S$. Причём всё сказанное остаётся в силе даже для неметрического пространства.

Вот чтобы всё примерно то же самое, но только в терминах звезды Ходжа?

[VanD]

Я встречал такую геометрическую интерпретацию звёздочки Ходжа, но без ссылок на литературу, просто со слов:

пусть $w = \omega^1\wedge\ldots\wedge\omega^k$ -- ненулевая разложимая внешняя форма на $V$, $\omega^i$ -- 1-формы. Пусть ещё есть скалярное произведение $g$, которое среди прочего удобно понимать как такой фиксированный изоморфизм $g\colon V\to V^*$. Тогда можно рассмотреть линейную оболочку $L$ векторов $v_i = g^{-1}(\omega^i)$. В $L$ есть "естественная" форма объёма, которая делает ориентированный объём единичного куба равным одному (или минус одному, дальше с ориентацией разберёмся и кавычки опустим). Форма $w$ пропорциональна этому естественному объёму. Достаточно знать, куда звёздочка преобразует естественный объём, чтобы потом по линейности продолжить и на $w$. А естественный объём она преобразует в естественный объём ортогонального дополнения для $L$. При этом надо только, чтобы ортонормированный упорядоченный базис в $L$, с помощью которого естественный объём там появлялся, давал вкупе с аналогичным базисом дополнения базис $V$, ориентированный правильно. На неразложимые формы продолжается по линейности опять же.

То есть, грубо говоря, скалярное произведение позволяет не различать вектора и ковектора и говорить об ортогональном дополнении, как подпространстве $V$. Звёздочка Ходжа просто переписывает взятие ортогонального дополнения в терминах "естественных" ориентированных объёмов с последующим продолжением на все внешние формы по линейности. Вроде всё корректно?

[arseniiv]

Хотел тоже такое написать. Как опускание индекса/ов даёт по ($p$-)вектору ($p$-)форму, которая ведёт себя так же как скалярное произведение с этим вектором (и всё двойственно при поднятии индексов), так же и звёздочка Ходжа по $p$-вектору/форме даёт $(N-p)$-вектор/форму, ведущие себя при внешнем произведении так же как исходный вектор/форма при скалярном — «по модулю» формы объёма или единичного объёма.

-- Чт янв 28, 2021 00:25:49 --

Вообще правда можно обобщить $\star$ так, что скалярное произведение не понадобятся, и тогда $p$-формы переходят в $(N-p)$-векторы и наоборот. Кроме того если многообразие неориентируемое, или просто не задана ориентация, вместо $N$-вектора/формы $\omega$ можно взять псевдо-$N$-вектор/форму, отличающиеся от обычных домножением на псевдоскаляр. А вот дальше уже не обобщается.

epros в сообщении #1502950 писал(а):

А есть ли приличные учебники, где дуальность Ходжа не только определяется формально, но и рассматривается с позиции геометрического или физического смысла?

Бёрке (W. Burke) что-то писал, не знаю приличное или нет. Там есть иллюстрации для $p$-векторов и $p$-форм, и псевдо- тоже. На языке таких иллюстраций (лучше почитать сначала где-то ещё, они не совсем самоочевидны) можно нарисовать действие звёздочки Ходжа как раз в самом общем виде (ну, на картинке для трёхмерного плоского пространства):

(Картинка)

Штрихованный объём с завитушкой, обозначающей ориентацию, внизу — это $\omega\in\wedge^N V$, а наверху это «псевдообъём». Предполагается, что мы расположили его так, чтобы он охватывал в точности одну длину вектора, площадь бивектора и т. д., и тогда по всем оставшимся направлениям естественно притулить соответствующий двойственный объект с естественно получающейся ориентацией. Для крайних случаев — с одной стороны (псевдо)плотностей (иногда их называют задом наперёд) и объёмов и с другой (псевдо)скаляров иллюстрации не настолько удачные, потому что не нарисуешь это как следует. Сверху слева например скаляру 9 соответствует плотность-псевдоформа, интегрирующаяся по выбранному нами неориентированному объёму в это значение 9, и это изображено девятью точками, как в книгах некогда иллюстрировали градации плотности (хотя там точки выбирались самые маленькие, но если бы я взял однопиксельные, вся иллюстративность бы испарилась). Снизу плотность—обычная форма интегрируется по ориентированному объёму в 5, и эта плотность проиллюстрирована маленькими значками ориентациями, умещающимися в объём. А на правых картинках я прикидочно заявил, что в наш $\omega$ умещается около $0{,}3$ выбранных объёмов, что тоже неочевидно проиллюстрировано.

Плюс в идеале там должны были быть ещё две строки, потому что псевдо-$p$-векторы не упомянуты.

Аналогично можно рисовать обобщённую теорему Стокса, уже только перейдя от линейных картинок к чему-то более напоминающему жизнь многообразий, иллюстрируя поля во многих точках. Вот это как раз у Бёрке где-то было для пары случаев (остальные он наверно предлагал изобразить себе самостоятельно).

И это и то ещё на абстрактных клеточных комплексах изображается хорошо, в том смысле что всё дискретно с начала и до конца, в отличие от картинок, пытающихся создать впечатление о многообразии (обычно вещественном) и о его бесконечно малых окрестностях.

[пианист]

epros
Встречал, вроде бы, но с ходу удалось вспомнить только статью Даниэль, Виалле в УФН (на нее тут Munin как-то давал ссылку). Звезда Ходжа используется для определения внутреннего произведения форм.