Подгруппы и нормальные подгруппы группы

[artempalkin]

Задача формулируется так: найти все подгруппы и нормальные подгруппы, например, $S_3$.

Понятно, что задача легко решима перебором. Однако же, я полагаю, более пристальный взгляд в теорию групп позволит как-то упростить себе жизнь и найти заданные подгруппы в этом случае (и более сложных) легче.

Например, если основываться на том, что я знаю, порядок всех подгрупп в $S_3$ должен быть делителем порядка группы. Так как $|S_3|=6$, то подгруппы (нетривиальные) могут быть либо порядка 2, либо порядка 3. Учитывая, что любая подгруппа должна содержать нейтральный элемент остается проверить $C_5^1$ вариантов для подгруппы порядка 2 и $C_5^2$ вариантов для группы порядка 3. Ну все равно достаточно много работы... И для каждой нужно проверять нормальность? Не очень весело.

Вот вопрос: как еще можно упростить процедуру поиска?

[Aritaborian]

Прочтя обсуждение на Math.SE, пестрящее словами типа "in general a very difficult problem", я сделал вывод, что лёгких путей здесь нет. Хотя отдельные лёгкие случаи встречаются.

[artempalkin]

Aritaborian
Забавно, что предлагают там в точности то, что использовал уже я

Цитата:

Finding all subgroups of large finite groups is in general a very difficult problem. Usually, I'd start with Lagrange's theorem to find possible orders of subgroups.

Next, you know that every subgroup has to contain the identity element. Then you can start to work out orders of elements contained in possible subgroups - again noting that orders of elements need to divide the order of the group.

Ну вот, к примеру, возьмем $(1,2)$, который второго порядка, естественно, с $(1)(2)(3)$ он образует подгруппу. Прав ли я буду, если скажу, что он не войдет больше ни в какую (нетривиальную) подгруппу? Наверное, это можно проще объяснить, но он войдет в другую подгруппу, только если она будет порядка 3, то есть к уже существующей нужно добавить еще один элемент. Однако каково будет произведение этого элемента с $(1,2)$? Никаких вариантов внутри этой подгруппы не получается, значит, $(1,2)$ и другие эл-ты порядка 2 можно отбросить, учтя их циклические подгруппы.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1502958 писал(а):

он войдет в другую подгруппу, только если она будет порядка 3

Тут сразу можно и остановиться - элемент второго порядка не может входить в подгруппу порядка 3.

artempalkin в сообщении #1502956 писал(а):

Учитывая, что любая подгруппа должна содержать нейтральный элемент остается проверить $C_5^1$ вариантов для подгруппы порядка 2 и $C_5^2$ вариантов для группы порядка 3.

Меньше - подгруппа порядка 2 содержит элемент порядка 2 (а таких элементов всего 3), подгруппа же порядка 3 содержит два элемента порядка 3, а таких элементов во всей группе всего 2.
Ну и еще можно заметить, что элементы порядка 2 переводятся друг в друга автоморфизмами группы, так что достаточно проверить всего одну подгруппу порядка 2 и одну подгруппу порядка 3.

С ростом $n$ количество разных подгрупп у $S_n$, естественно, растет очень быстро. К счастью нормальных подгрупп у $S_n$ мало, и их можно найти без перебора.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1502961 писал(а):

Тут сразу можно и остановиться - элемент второго порядка не может входить в подгруппу порядка 3.

А, ну да, правильно, ведь все элементы группы порядка $n$ в степени $n$ должны давать нейтральный элемент... Это еще одно вспомогательное утверждение, которое может помочь находить подгруппы.

Получается, что, чтобы найти подгруппу, нужно:

1) с помощью теоремы Лагранжа определить порядок возможных подгрупп;
2) учесть, что каждая подгруппа содержит нейтральный элемент;
3) найти порядок всех элементов группы и рассмотреть их как кандидатов в возможные подгруппы.

mihaild в сообщении #1502961 писал(а):

К счастью нормальных подгрупп у $S_n$ мало, и их можно найти без перебора.

Без проверки, основываясь на вашем сообщении, я предполагаю, что в $S_3$ нормальной будет подгруппа порядка 3.
Более того, это же очевидно. Ее порядок есть 3, а значит у нее есть только один смежный класс, если не считать ее самой. И это не зависит от того, справа или слева домножать на элементы ей не принадлежащие.

То есть по сути осталось проверить, что наши подгруппы второго порядка (ну или точнее любой их представитель) НЕ являются нормальными подгруппами.