Теорема Штольца. 1

[Odysseus]

Так именно это же и доказывается в Фихтенольце при доказательстве теоремы Штольца, которое я вам уже много раз рекомендовал наконец внимательно разобрать. Вы сказали, что вам все понятно кроме того, как доказывается тождество

$$\frac{x_n}{y_n} - l = \frac{x_N-ly_N}{y_n} +\left(1-\frac{y_N}{y_n}\right)\left(\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l\right)$$

Я пояснил каким путем его нужно доказывать, вы это пробовали сделать?
И из этого тождества, собственно, все далее и следует.
У вас есть еще вопросы по данному тождеству или доказательству в целом?

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1502720 писал(а):

Вы сказали, что вам все понятно кроме того, как доказывается тождество

$$\frac{x_n}{y_n} - l = \frac{x_N-ly_N}{y_n} +\left(1-\frac{y_N}{y_n}\right)\left(\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l\right)$$

...............................................................................................

У вас есть еще вопросы по данному тождеству или доказательству в целом?

Я не писал, что мне непонятно, как оно доказывается, я написал:

Vladimir Pliassov в сообщении #1502648 писал(а):

не совсем понятно, откуда взялось тождество

У меня и не было вопросов по доказательству у Фихтенгольца, не считая того, что мне (и не только мне) непонятно происхождение этого тождества. Но оно справедливо, я проверял (простым школьным способом).

Кстати о нем можно посмотреть и здесь: post1203606.html

-- 25.01.2021, 21:56 --

Odysseus в сообщении #1502654 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1502648 писал(а):

Это, конечно, я не досмотрел, надо было оговорить еще и то, что предел не может быть равен нулю.

Почему это он не может быть равен нулю? Вполне может.

Здесь я имел в виду не то, что предел в теореме Штольца вообще не может быть равен нулю, а то, что доказательство, которое я пытаюсь найти, не распространяется на случай, когда предел равен нулю. То есть это доказательство не для всех случаев, а только для некоторых.

Но ведь и Коши, как сказано у Фихтенгольца, сначала доказал эту теорему для частного случая:

Цитата:

При частном предположении $y_n=n$ мы находим эту теорему еще у Коши. (http://if.pskgu.ru/ebooks/f1/1_2.pdf стр.67, сноска в самом низу)

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1502732 писал(а):

Я не писал, что мне непонятно, как оно доказывается

Извините, но когда вы пишите

Vladimir Pliassov в сообщении #1502648 писал(а):

Вероятно, сначала, так же, как у Садовничего, знаменатель дроби выражения

$$\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=l+\alpha_n \eqno {(1)}$$

умножается на $l+\alpha_n$ для всех случаев от $\frac{x_{N+1}-x_{N}}{y_{N+1}-y_{N}}$ до $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$, потом все эти произведения приравниваются к соответствующим числителям вариантов (1), и полученные равенства складываются, но затем употребляется еще какой-то трюк - какой?

то сложно было представить, что вы понимаете как оно доказывается. Иначе вы бы такое не писали, поскольку эти рассуждения к доказательству данного тождества не имеют никакого отношения. Это тождество не зависит от условий теоремы (поэтому оно и "тождество"), а у Архипова, Садовничего и Чубарикова просто другой подход к доказательству теоремы Штольца.
И также не спрашивали бы какой трюк применяется. Какой может быть трюк в школьном доказательстве элементарного тождества?

Vladimir Pliassov в сообщении #1502732 писал(а):

У меня и не было вопросов по доказательству у Фихтенгольца, не считая того, что мне (и не только мне) непонятно происхождение этого тождества.

Количество людей которым что-то непонятно не имеет никакого значения.

Vladimir Pliassov в сообщении #1502732 писал(а):

Кстати о нем можно посмотреть и здесь: post1203606.html

И тот топик тоже не имеет никакого отношения к тому, что обсуждается здесь.

-- 25.01.2021, 11:06 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1502732 писал(а):

Здесь я имел в виду не то, что предел в теореме Штольца вообще не может быть равен нулю, а то, что доказательство, которое я пытаюсь найти, не распространяется на случай, когда предел равен нулю. То есть это доказательство не для всех случаев, а только для некоторых.

Вообще-то вы писали противоположное:

Vladimir Pliassov в сообщении #1502719 писал(а):

Если бы, исходя из условий теоремы, удалось доказать - вспомогательно, - что эти пределы существуют, доказательство годилось бы для большего числа случаев

А это

Vladimir Pliassov в сообщении #1502732 писал(а):

Но ведь и Коши, как сказано у Фихтенгольца, сначала доказал эту теорему для частного случая:

Цитата:

При частном предположении $y_n=n$ мы находим эту теорему еще у Коши. (http://if.pskgu.ru/ebooks/f1/1_2.pdf стр.67, сноска в самом низу)

тоже непонятно как относится к тому, что обсуждается здесь.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1502654 писал(а):

А предела $\lim\limits_{n\to \infty} \frac {y_n}{x_n}$ при условиях теоремы Штольца может вообще не существовать.

Именно поэтому и надо оговорить, что рассматриваются случаи, когда он существует.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1502736 писал(а):

Именно поэтому и надо оговорить, что рассматриваются случаи, когда он существует.

Изначально и здесь вы писали совсем другое:

Vladimir Pliassov в сообщении #1502602 писал(а):

Вопрос: как доказать, что

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}$$

и

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac {y_n}{x_n}$$

существуют?

Вы понимаете чем "рассматриваются случаи, когда предел существует" отличается от вопроса "как доказать, что предел существует"? Первое - это допущение/условие при котором теорема верна. Второе - требуется доказать, поэтому это уже нельзя называть условием теоремы.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1502738 писал(а):

Изначально и здесь вы писали совсем другое:

Но ведь форум называется "Помогите разобраться": я здесь часто начинаю одним, а кончаю совсем другим, именно потому, что мне помогают разобраться (за что я очень благодарен).

Odysseus в сообщении #1502735 писал(а):

А это

Vladimir Pliassov в сообщении #1502732 писал(а):

Но ведь и Коши, как сказано у Фихтенгольца, сначала доказал эту теорему для частного случая:

Цитата:

При частном предположении $y_n=n$ мы находим эту теорему еще у Коши. (http://if.pskgu.ru/ebooks/f1/1_2.pdf стр.67, сноска в самом низу)

тоже непонятно как относится к тому, что обсуждается здесь.

Здесь обсуждается попытка доказательства теоремы Штольца для частного случая, то есть для случая конечного предела, не равного нулю, при $x_n \xrightarrow[n \to \infty] {} \infty$ и в предположении, что

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}$$

и

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac {y_n}{x_n}$$

существуют.

-- 25.01.2021, 23:02 --

nnosipov в сообщении #1502629 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1502602 писал(а):

$y_n \xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$

Режет глаз. Что мешает написать $y_n \to \infty$ при $n \to \infty$?

Вы консерватор? :)

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1502739 писал(а):

Здесь обсуждается попытка доказательства теоремы Штольца для частного случая, то есть для случая конечного предела, не равного нулю, при $x_n \xrightarrow[n \to \infty] {} \infty$ и в предположении, что

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}$$

и

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac {y_n}{x_n}$$

существуют.

На это я вам ответил в первом же моем сообщении в этой теме:

Odysseus в сообщении #1502621 писал(а):

Как вы можете сначала делать такие предположения до начала доказательства, а потом в конце спрашивать как их доказать?

Vladimir Pliassov в сообщении #1502602 писал(а):

Вопрос: как доказать, что

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}$$

и

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac {y_n}{x_n}$$

существуют?

И вы так и не ответили на вопрос:

Odysseus в сообщении #1502738 писал(а):

Вы понимаете чем "рассматриваются случаи, когда предел существует" отличается от вопроса "как доказать, что предел существует"? Первое - это допущение/условие при котором теорема верна. Второе - требуется доказать, поэтому это уже нельзя называть условием теоремы.

Вы в самом деле не видите проблем в вашей логике рассуждений?

Vladimir Pliassov в сообщении #1502739 писал(а):

Но ведь форум называется "Помогите разобраться": я здесь часто начинаю одним, а кончаю совсем другим, именно потому, что мне помогают разобраться (за что я очень благодарен).

Извините, но у меня иногда впечатление, что вы хотите не разобраться, а что-то доказать и поспорить. Как я вам уже писал несколько раз, и не только я, если вы что-то не знаете или плохо понимаете, то начинайте с
1) изучения учебников, и затем
2) вопросов о том, что в них вам непонятно.
Вместо этого, вы часто начинаете и продолжаете с попыток придумать что-то альтернативное. Вы считаете это продуктивнее? Поверьте, но это не так.

Хотя если у вас цель не в том, чтобы выучить и разобраться в чем-то, а в том, чтобы придумывать что-то свое - это ваше личное право. Просто тогда может возникнуть ситуация, когда вам перестанут что-то объяснять, поскольку будут видеть, что это ни к чему не приводит и что вы в какой-то момент просто начинаете игнорировать ответы и объяснения, а вместо этого начинаете новую тему где повторяется то же самое.

[Padawan]

$$ \frac{x_n}{y_n}-\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}=\frac{x_N}{y_n}-\frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N} $$

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1502739 писал(а):

Вы консерватор?

Я не сторонник извращений, во всяком случае. То, что Вы делаете, называется моветон. Не следует копировать плохие примеры. По крайней мере, пока не выучите хорошие.

[StaticZero]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1502756 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1502739 писал(а):

Вы консерватор?

Я не сторонник извращений, во всяком случае. То, что Вы делаете, называется моветон. Не следует копировать плохие примеры. По крайней мере, пока не выучите хорошие.

Меня вот всю жизнь пинали за записи типа

$$ \left. \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \right|_{x \to +\infty} = 1 $$

с такими же примерно аргументами А я что? Я всего лишь забывал $\lim$ написать при упрощении многоэтажных выражений.

[Vladimir Pliassov]

nnosipov в сообщении #1502756 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1502739 писал(а):

Вы консерватор?

Я не сторонник извращений, во всяком случае. То, что Вы делаете, называется моветон. Не следует копировать плохие примеры. По крайней мере, пока не выучите хорошие.

(Оффтоп)

Простите, если я обидел Вас, я не хотел.

Но, что касается обозначения $y_n \xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$, то я не вижу, почему бы его не употреблять, оно, конечно, как я понимаю, новое, но как будто не менее понятное, чем "$y_n \to \infty$ при $n \to \infty$", к тому же оно интернациональное: в нем нет русского слова "при".

[kotenok gav]

Vladimir Pliassov в сообщении #1502782 писал(а):

Но, что касается обозначения $y_n \xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$, то я не вижу, почему бы его не употреблять, оно, конечно, как я понимаю, новое, но как будто не менее понятное, чем "$y_n \to \infty$ при $n \to \infty$", к тому же оно интернациональное: в нем нет русского слова "при".

А чем вам не нравится обозначение $\lim\limits_{n\to+\infty}y_n=+\infty$?

[Vladimir Pliassov]

kotenok gav в сообщении #1502783 писал(а):

А чем вам не нравится обозначение $\lim\limits_{n\to+\infty}y_n=+\infty$?

Оно мне нравится. Да мне и $y_n \to \infty$ при $n \to \infty$ нравится. Но мне кажется, что и $y_n \xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$ пусть будет.

[Vladimir Pliassov]

Padawan в сообщении #1502755 писал(а):

$$ \frac{x_n}{y_n}-\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}=\frac{x_N}{y_n}-\frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N} $$

$$\frac{x_N}{y_n}\to 0\Rightarrow \Bigg(\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-\frac{x_n}{y_n}\Bigg )\to \frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}=\frac{x_ny_N-x_Ny_N}{y_n(y_n-y_N)}=\frac{x_ny_N}{y_n(y_n-y_N)}-\frac{x_Ny_N}{y_n(y_n-y_N)}.$$

$$\frac{x_Ny_N}{y_n(y_n-y_N)}\to 0\Rightarrow \Bigg(\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-\frac{x_n}{y_n}\Bigg )\to \frac{x_ny_N}{y_n(y_n-y_N)}=\frac{x_n}{y_n}\cdot \frac{y_N}{y_n-y_N}.$$

$$\frac{y_N}{y_n-y_N}\to 0,$$

но, как и при прошлых преобразованиях, это не значит, что

$$\Bigg(\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-\frac{x_n}{y_n}\Bigg )\to 0.$$

[Brukvalub]

Интересно, где тс подсмотрел обозначение "одна последовательность стремится к другой последовательности"?