Теорема Штольца. 1

[Vladimir Pliassov]

В сообщении представлена попытка доказательства теоремы Штольца для случая конечного предела при $x_n \xrightarrow[n \to \infty] {} \infty$ и в предположении, что

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}$$

и

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac {y_n}{x_n}$$

существуют.

Начало доказательства как у Фихтенгольца (http://if.pskgu.ru/ebooks/f1/1_2.pdf стр.67-68) вплоть до формулы

$$\Bigg \vert \frac {x_n-x_N}{y_n-y_N}-l\Bigg {\vert}<\frac{\varepsilon}{2}.$$

Затем, вместо того, чтобы переходить к тождеству

$$\frac{x_n}{y_n} - l = \frac{x_N-ly_N}{y_n} +\left(1-\frac{y_N}{y_n}\right)\left(\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l\right),$$

продолжим следующим образом.

$$l=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}-\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_N}{y_n-y_N}.$$

Поскольку $x_N, y_N$ фиксированы, а $y_n \xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$ (по условию теоремы), то

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_N}{y_n-y_N}=0$$

и, значит,

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}=l.$$

Так как $x_n$ и $y_n-y_N$ имеют пределы ($\lim\limits_{n\to \infty}(y_n-y_N)=\infty$) и последовательность-делитель не является бесконечно малой, то

$$l=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}=\frac {\lim\limits_{n\to \infty}x_n}{\lim\limits_{n\to \infty}(y_n-y_N)}\Rightarrow $$

$$\Rightarrow \frac 1l=\frac {\lim\limits_{n\to \infty}(y_n-y_N)}{\lim\limits_{n\to \infty}x_n}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{y_n-y_N}{x_n}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{y_n}{x_n}-\lim\limits_{n\to \infty} \frac{y_N}{x_n}.$$

Поскольку $x_n \xrightarrow[n \to \infty] {} \infty$, то

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{y_N}{x_n}=0,$$

поэтому

$$\frac 1l=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{y_n}{x_n},$$

откуда

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac {x_n}{y_n}=l,$$

ч.т.д..

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вопрос: как доказать, что

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}$$

и

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac {y_n}{x_n}$$

существуют?

[novichok2018]

Вроде это всё есть в Зориче, нет?

[Vladimir Pliassov]

Не знаю, надо посмотреть. В какой главе, какой параграф?

[Odysseus]

Vladimir Pliassov
Вы написали очень много странных вещей... Например

Vladimir Pliassov в сообщении #1502602 писал(а):

для случая конечного предела при $x_n \xrightarrow[n \to \infty] {} \infty$

Конечного предела у чего?

Vladimir Pliassov в сообщении #1502602 писал(а):

и в предположении, что

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}$$

и

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac {y_n}{x_n}$$

существуют.

Как вы можете сначала делать такие предположения до начала доказательства, а потом в конце спрашивать как их доказать?

Vladimir Pliassov в сообщении #1502602 писал(а):

Вопрос: как доказать, что

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}$$

и

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac {y_n}{x_n}$$

существуют?

Ну и конечно, такие предположения при доказательстве теоремы Штольца никто не делает. Это все равно, что при доказательстве сходимости какого-то ряда сначала делать предположение, что он сходится.

Vladimir Pliassov в сообщении #1502602 писал(а):

Так как $x_n$ и $y_n-y_N$ имеют пределы ($\lim\limits_{n\to \infty}(y_n-y_N)=\infty$) и последовательность-делитель не является бесконечно малой, то

$$l=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}=\frac {\lim\limits_{n\to \infty}x_n}{\lim\limits_{n\to \infty}(y_n-y_N)}\Rightarrow $$

$$\Rightarrow \frac 1l=\frac {\lim\limits_{n\to \infty}(y_n-y_N)}{\lim\limits_{n\to \infty}x_n}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{y_n-y_N}{x_n}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{y_n}{x_n}-\lim\limits_{n\to \infty} \frac{y_N}{x_n}.$$

Вы не можете переходить от $l$ к $\frac{1}{l}$, поскольку может быть, что $l=0$

---

Вы точно понимаете все шаги из доказательства в Фихтенгольце? Или, не поняв что-то, пытаетесь сами придумать какой-то другой ход рассуждений? Потому что пока впечатление такое, что вы не понимаете о чем вообще эта теорема и как она доказывается стандартным способом.

В целом, как я уже советовал вам в других ваших темах, прежде чем начинать искать "альтернативные доказательства" (что, как мне кажется, вам слишком часто хочется делать еще до того, как вы что-то усвоили), сначала разберитесь в одном из существующих доказательств. Поверьте, что в противном случае вы не придумаете что-то лучшее. (Бывают случаи когда в каком-то учебнике доказательство не самое удачное или понятное, но 1) здесь случай не такой, и 2) даже в подобных случаях намного плодотворнее сначала найти и усвоить другое доказательство этого же факта в другом учебнике, чем пытаться придумать что-то свое).

Пытаться самому что-то доказать не подглядывая в имеющееся доказательство это вполне нормально, но если у вас долго не получается или что-то непонятно, то рекомендую сначала разобраться в существующем доказательстве прежде чем спрашивать что не так с вашим. И если существующее доказательство непонятно, то лучше сначала задавайте вопросы по нему.

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1502602 писал(а):

$y_n \xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$

Режет глаз. Что мешает написать $y_n \to \infty$ при $n \to \infty$?

[Vladimir Pliassov]

nnosipov в сообщении #1502629 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1502602 писал(а):

$y_n \xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$

Режет глаз. Что мешает написать $y_n \to \infty$ при $n \to \infty$?

Это я взял из Википедии https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1 ... 1%82%D0%B8

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1502640 писал(а):

Это я взял из Википедии

Не надо что попало из Википедии брать. Такого обозначения в учебниках нет (во всяком случае, мне не попадалось). Используйте стандартную нотацию.

[Padawan]

Vladimir Pliassov в сообщении #1502602 писал(а):

Затем, вместо того, чтобы переходить к тождеству

$$\frac{x_n}{y_n} - l = \frac{x_N-ly_N}{y_n} +\left(1-\frac{y_N}{y_n}\right)\left(\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l\right),$$

Мне, кстати, тоже не нравится это место в Фихтенгольце. Формула как обухом по голову. Вы лучше попробуйте доказать, что

$$ \frac {x_n}{y_n}-\frac {x_n-x_N}{y_n-y_N}\to 0\ \ \text{при} \ n\to\infty. $$

Попреобразуйте эту разность.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1502621 писал(а):

Vladimir Pliassov
Вы написали очень много странных вещей... Например

Vladimir Pliassov в сообщении #1502602 писал(а):

для случая конечного предела при $x_n \xrightarrow[n \to \infty] {} \infty$

Конечного предела у чего?

Это видно из учебника Фихтенгольца (http://if.pskgu.ru/ebooks/f1/1_2.pdf стр.67-68), ведь первую половину доказательства я беру у него, а вторую пытаюсь доказать сам, хотя бы для некоторых случаев.

Odysseus в сообщении #1502621 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1502602 писал(а):

и в предположении, что

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}$$

и

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac {y_n}{x_n}$$

существуют.

Как вы можете сначала делать такие предположения до начала доказательства, а потом в конце спрашивать как их доказать?

Если бы, исходя из условий теоремы, удалось доказать - вспомогательно, - что эти пределы существуют, доказательство годилось бы для большего числа случаев, а так оно годится для меньшего числа случаев, которые оговариваются. Если, конечно, оно годится хотя бы для них.

Odysseus в сообщении #1502621 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1502602 писал(а):

Вопрос: как доказать, что

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}$$

и

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac {y_n}{x_n}$$

существуют?

Ну и конечно, такие предположения при доказательстве теоремы Штольца никто не делает. Это все равно, что при доказательстве сходимости какого-то ряда сначала делать предположение, что он сходится.

Это не совсем так, в условии теоремы говорится не о $\lim\limits_{n\to \infty} \frac {y_n}{x_n}$, а о $\lim\limits_{n\to \infty} \frac {x_n}{y_n}$.

Odysseus в сообщении #1502621 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1502602 писал(а):

Так как $x_n$ и $y_n-y_N$ имеют пределы ($\lim\limits_{n\to \infty}(y_n-y_N)=\infty$) и последовательность-делитель не является бесконечно малой, то

$$l=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}=\frac {\lim\limits_{n\to \infty}x_n}{\lim\limits_{n\to \infty}(y_n-y_N)}\Rightarrow $$

$$\Rightarrow \frac 1l=\frac {\lim\limits_{n\to \infty}(y_n-y_N)}{\lim\limits_{n\to \infty}x_n}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{y_n-y_N}{x_n}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{y_n}{x_n}-\lim\limits_{n\to \infty} \frac{y_N}{x_n}.$$

Вы не можете переходить от $l$ к $\frac{1}{l}$, поскольку может быть, что $l=0$

Это, конечно, я не досмотрел, надо было оговорить еще и то, что предел не может быть равен нулю.

---

Odysseus в сообщении #1502621 писал(а):

Вы точно понимаете все шаги из доказательства в Фихтенгольце?

В его доказательстве мне как будто все ясно, кроме одного момента: не совсем понятно, откуда взялось тождество

$$\frac{x_n}{y_n} - l = \frac{x_N-ly_N}{y_n} +\left(1-\frac{y_N}{y_n}\right)\left(\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l\right).$$

Вероятно, сначала, так же, как у Садовничего, знаменатель дроби выражения

$$\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=l+\alpha_n \eqno {(1)}$$

умножается на $l+\alpha_n$ для всех случаев от $\frac{x_{N+1}-x_{N}}{y_{N+1}-y_{N}}$ до $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$, потом все эти произведения приравниваются к соответствующим числителям вариантов (1), и полученные равенства складываются, но затем употребляется еще какой-то трюк - какой?

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1502648 писал(а):

Это видно из учебника Фихтенгольца (http://if.pskgu.ru/ebooks/f1/1_2.pdf стр.67-68), ведь первую половину доказательства я беру у него, а вторую пытаюсь доказать сам, хотя бы для некоторых случаев.

Но не видно из того, что написано у вас. Если вы проводите какое-то доказательство с каким-то предположениями, то их все нужно расписывать полностью и аккуратно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1502648 писал(а):

Если бы, исходя из условий теоремы, удалось доказать - вспомогательно, - что эти пределы существуют

"Вспомогательно" вы это никак не докажете, поскольку существование первого предела равносильно существованию предела, который и доказывается в теореме Штольца, т.е. его можно доказать только доказав сначала ее. А второго предела может вообще не существовать.

Vladimir Pliassov в сообщении #1502648 писал(а):

доказательство годилось бы для большего числа случаев, а так оно годится для меньшего числа случаев, которые оговариваются

О каком большем количестве случаев вы говорите? Если вы сравниваете с теми случаями, которые указаны в формулировке теоремы Штольца, то вы же сами их принимаете, когда пишите "Это видно из учебника Фихтенгольца (http://if.pskgu.ru/ebooks/f1/1_2.pdf стр.67-68), ведь первую половину доказательства я беру у него". Значит большего количества случаев у вас уже никак не может получиться.

Vladimir Pliassov в сообщении #1502648 писал(а):

Это не совсем так, в условии теоремы говорится не о $\lim\limits_{n\to \infty} \frac {y_n}{x_n}$, а о $\lim\limits_{n\to \infty} \frac {x_n}{y_n}$.

Как я уже ответил выше, если $y_n \to \infty$ при $n \to \infty$, то наличие предела $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}$ равносильно наличию предела $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n}$. А предела $\lim\limits_{n\to \infty} \frac {y_n}{x_n}$ при условиях теоремы Штольца может вообще не существовать (упражнение для вас: придумайте в каком случае). Так что ваш альтернативный подход к доказательству изначально ошибочный и ни к чему привести не может. Еще раз советую сначала разбираться с существующими доказательствами (вместе, конечно, с примерами и задачами на эту тему).

Vladimir Pliassov в сообщении #1502648 писал(а):

Это, конечно, я не досмотрел, надо было оговорить еще и то, что предел не может быть равен нулю.

Почему это он не может быть равен нулю? Вполне может. И здесь тоже рекомендую придумать в каком случае такое может быть.

Vladimir Pliassov в сообщении #1502648 писал(а):

В его доказательстве мне как будто все ясно, кроме одного момента: не совсем понятно, откуда взялось тождество

$$\frac{x_n}{y_n} - l = \frac{x_N-ly_N}{y_n} +\left(1-\frac{y_N}{y_n}\right)\left(\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l\right).$$

Вероятно, сначала, так же, как у Садовничего, знаменатель дроби выражения

$$\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=l+\alpha_n \eqno {(1)}$$

умножается на $l+\alpha_n$ для всех случаев от $\frac{x_{N+1}-x_{N}}{y_{N+1}-y_{N}}$ до $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$, потом все эти произведения приравниваются к соответствующим числителям вариантов (1), и полученные равенства складываются, но затем употребляется еще какой-то трюк - какой?

Не знаю, что написано у Садовничего, но никаких случаев $\frac{x_{N+1}-x_{N}}{y_{N+1}-y_{N}}$ до $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$ здесь рассматривать не нужно. Это просто тождество, которое проверяется обычным образом: все слагаемые приводятся к одному знаменателю и т.д. Представьте, например, в правой части $1-\frac{y_N}{y_n}$ как $\frac{y_n-y_N}{y_n}$, сократите с $y_n-y_N$, который стоит в знаменателе в скобках справа и т.д.
Можно подойти к этому и с другой стороны, как вам посоветовали выше, но все равно разберите и поймите до конца сначала существующее доказательство.

[Vladimir Pliassov]

Padawan в сообщении #1502643 писал(а):

Вы лучше попробуйте доказать, что

$$ \frac {x_n}{y_n}-\frac {x_n-x_N}{y_n-y_N}\to 0\ \ \text{при} \ n\to\infty. $$

Попреобразуйте эту разность.

Я пробовал, правда, для

$$\frac {x_n-x_N}{y_n-y_N}-\frac {x_n}{y_n}-\to 0\ \ \text{при} \ n\to\infty.$$

Так как

$$\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}=\frac{x_n}{y_n-y_N}-\frac{x_N}{y_n-y_N}, \ \ \text{а} \ \ \ \frac{x_N}{y_n-y_N}\to 0, \ \ \text{то}$$

$$\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}\to \frac{x_n}{y_n-y_N},$$

то есть

$$l=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}.$$

(Так можно?)

Далее преобразуем уже выражение $\frac{x_n}{y_n-y_N}-\frac{x_n}{y_n}$:

$$\frac{x_n}{y_n-y_N}-\frac{x_n}{y_n}=\frac{x_ny_n-x_n(y_n-y_N)}{y_n(y_n-y_N)}=\frac{x_ny_N}{y_n(y_n-y_N)}=$$

$$=\frac{x_n}{y_n(\frac {y_n}{y_N}-1)}=\frac {x_n}{y_n}\cdot \frac {1}{\frac {y_n}{y_N}-1}.$$

$y_n \to \infty$, поэтому $\frac {1}{\frac {y_n}{y_N}-1}\to 0$, но следует ли из этого, что $\frac {x_n}{y_n}\cdot \frac {1}{\frac {y_n}{y_N}-1}\to 0$? Ведь $\frac {x_n}{y_n}$ может стремиться к бесконечности быстрее, чем $\frac {1}{\frac {y_n}{y_N}-1}$ стремится к нулю.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov
Так вы ничего не докажете. Необходимо учитывать, что $\vert \frac {x_n-x_N}{y_n-y_N}-l {\vert}<\varepsilon$ для конечного $l$ и при соответствующем $N$, что вы в преобразованиях выше никак не учитываете. Иначе можно легко построить контрпример к утверждению о том, что $\frac {x_n}{y_n}-\frac {x_n-x_N}{y_n-y_N}\to 0\ \ \text{при} \ n\to\infty$ Возьмите, например, $x_n = n^2$, $y_n = n$

Если вы следуете какому-то доказательству, то (если доказательство построено грамотно и без лишних уходов в сторону) нельзя обойтись без соотношений, которые выводятся в ходе доказательства, поскольку они напрямую следуют из условий самой теоремы. Иначе вы фактически игнорируете условия теоремы, и значит ничего доказать не сможете в принципе. (Это будет примерно как пытаться доказать Великую теорему Ферма не учитывая натуральность чисел, которые в ней фигурируют.) Можно просто попытаться как-то проще прийти к тождеству, которое указано у Фихтенгольца, или разобрать какое-то совсем другое доказательство, если его найдете, но пытаться обойтись совсем без всего у вас не получится.

В общем, в которой раз рекомендую вам сначала разобраться с доказательством из Фихтенгольца. У меня уже какое-то дежавю с этой постоянной рекомендацией в разных ваших темах, только авторы учебников могут меняться :) Это, конечно, ваше право учитывать эту рекомендацию или нет, но ИМХО вы не очень эффективно тратите время

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1502710 писал(а):

Так вы ничего не докажете.

Я и не говорю, что так я докажу, напротив, на предложение Padawan попробовать доказать, что

$$\frac {x_n}{y_n}-\frac {x_n-x_N}{y_n-y_N}\to 0\ \ \text{при} \ n\to\infty,$$

преобразуя эту разность, я и ответил, что уже попробовал, но не смог.

А что, это возможно? Я не вижу, как.

[Odysseus]

Без дополнительных условий - невозможно. Но я думаю, что Padawan имел в виду, что нужно учитывать условие $\vert \frac {x_n-x_N}{y_n-y_N}-l {\vert}<\varepsilon$ для конечного $l$ и при соответствующем $N$. Оно же как раз и было выведено в ходе доказательства теоремы перед последующим тождеством, которое приводится у Фихтенгольца.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1502654 писал(а):

Как я уже ответил выше, если $y_n \to \infty$ при $n \to \infty$, то наличие предела $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}$ равносильно наличию предела $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n}$.

Не могли бы Вы показать, как это доказать? Именно это у меня и не получается.