Действие прямого произведения групп

[StaticZero]

Хочу разобраться с тем, как действует $\mathbb Z_n \times \mathbb Z_2$ на векторном пространстве $\mathbb R^m$. Для примера взял $m=1$, $n = 3$. Если быть в курсе, что $\mathbb Z_3 \times \mathbb Z_2 \simeq \mathbb Z_6$, то там можно взять образующий $g$ и как-то там определить это действие $g x$.

Физически интересно нечто другое. Пусть, скажем, $\mathbb Z_3$ используется, как группа целочисленных трансляций по модулю 3, состоит из элементов $0, b, 2b$ и групповой закон здесь типа сложения: $0+b=b$, $b+b=2b$, $2b+b=0$, а её действие на $\mathbb R^1$ будет $b \star x \equiv x + 1$, $(2 b) \star x \equiv x + 2$, ну и $0 \star x = x$.

Пусть теперь $\mathbb Z_2$ используется, как группа инверсии с элементами $1$ и $i$, групповой закон мультпликативный, такими, что $1 \circ x = x$, $i \circ x = -x$.

Прямое произведение этих групп содержит элементы $(1, 0)$, $(1, b)$, $(1, 2b)$, $(i, 0)$, $(i, b)$, $(i, 2b)$ и закон умножения этих элементов выбран естественным образом $(\sigma', v')\cdot(\sigma, v) = (\sigma' \sigma, v' + v)$.

У меня возникают сложности с тем, чтобы определить действие произвольного $(\sigma, v)$ исходя из физических соображений. Я хочу выбрать конвенцию такую: сначала действует элемент группы инверсии $\sigma$, потом действует элемент группы трансляции $v$. По идее, это должно приводить к $(\sigma, v) x = (\sigma \circ x) \star v$. Дальше проверяем согласованность умножений

$$ (\sigma', v')(\sigma, v)x = (\sigma', v') [(\sigma \circ x) \star v] = (\sigma' \circ [(\sigma \circ x) \star v]) \star v' $$

и для согласованности требуется, чтобы справа равнялось $[(\sigma' \sigma) \circ x] \star (v + v')$. Если просто наивно снять значки действия группы и заменить их скалярным умножением и векторным сложением, то получим что-то типа

$$ (\sigma' \circ [(\sigma \circ x) \star v]) \star v' \rightarrow \sigma' (\sigma x + v) + v' = \sigma' \sigma x + \sigma' v + v' = \sigma' \sigma x + (\sigma', v') v. $$

Значит, так просто снимать нельзя, но нужно как-то раскрыть скобки здесь:

$$ (\sigma' \circ [(\sigma \circ x) \star v]) \star v' $$

Чем тут надо пользоваться? Или я вообще всё неправильно делаю?

[Xaositect]

StaticZero в сообщении #1502256 писал(а):

Физически интересно нечто другое. Пусть, скажем, $\mathbb Z_3$ используется, как группа целочисленных трансляций по модулю 3, состоит из элементов $0, b, 2b$ и групповой закон здесь типа сложения: $0+b=b$, $b+b=2b$, $2b+b=0$, а её действие на $\mathbb R^1$ будет $b \star x \equiv x + 1$, $(2 b) \star x \equiv x + 2$, ну и $0 \star x = x$.

Это не действие: у нас же $b + b + b = 0$, но $b \star (b \star (b \star x)) \neq 0 \star x$.

[StaticZero]

Так а если определить векторное сложение так, чтобы $x + 3 \equiv x$?

[Xaositect]

StaticZero в сообщении #1502259 писал(а):

Так а если определить векторное сложение так, чтобы $x + 3 \equiv x$?

Я тогда не понимаю, что за действие Вы имеете в виду.

Для того, чтобы действия $G$ и $H$ давали действие $G \times H$ надо, чтобы они коммутировали, т.е. в вашем случае должно быть $v \star (\sigma \circ x) = \sigma \circ (v \star x)$ для любых $v, \sigma, x$. Это потому, что в $G \times H$ у нас $(\sigma, 0) (1, v) = (1, v)(\sigma, 0)$.

То есть, если я правильно понял, в Ваших обозначениях должно быть $\sigma x + v = \sigma (x + v)$.

[mihaild]

StaticZero в сообщении #1502259 писал(а):

Так а если определить векторное сложение так, чтобы $x + 3 \equiv x$?

Это вы хотите определить векторное сложение на $\mathbb R$ так? Тогда вместо векторного пространства получится непонятно что: $0 = 0 + 3 = 3$.

[StaticZero]

mihaild в сообщении #1502274 писал(а):

Это вы хотите определить векторное сложение на $\mathbb R$ так? Тогда вместо векторного пространства получится непонятно что: $0 = 0 + 3 = 3$.

Если быть точнее, то я хочу рассмотреть $\mathbb R /\!\sim$, где $x \sim y$, если $x - y \equiv 0 \pmod 3$ (я так понимаю, то, что получается, обозначается $\mathbb R/3\mathbb Z$). Векторную арифметику просто переносим на представителей.

Насчёт остального подумаю.

-- 22.01.2021 в 18:19 --

Xaositect в сообщении #1502261 писал(а):

Для того, чтобы действия $G$ и $H$ давали действие $G \times H$ надо, чтобы они коммутировали, т.е. в вашем случае должно быть $v \star (\sigma \circ x) = \sigma \circ (v \star x)$ для любых $v, \sigma, x$. Это потому, что в $G \times H$ у нас $(\sigma, 0) (1, v) = (1, v)(\sigma, 0)$.

Даааа, беда. Не получается коммутации Не обратил даже внимания.

[mihaild]

StaticZero в сообщении #1502300 писал(а):

я так понимаю, то, что получается, обозначается $\mathbb R/3\mathbb Z$

Да, но это уже будет только группа, умножение эту эквивалентность не уважает (т.к. $3\mathbb Z$ - не идеал).

[StaticZero]

mihaild в сообщении #1502310 писал(а):

Да, но это уже будет только группа, умножение эту эквивалентность не уважает (т.к. $3\mathbb Z$ - не идеал).

Ну вот если у нас, допустим, $x$ такой, что умножение $x \sqrt 3$ выбрасывает нас за пределы отрезка $[0, 3)$, томы же можем вычесть нужное количество троек и вернуться обратно?

(Я может быть не знаю, как называется такая арифметика на $S^1$, поэтому я плохо формулирую)

[mihaild]

StaticZero, вот у нас есть заданное отношение эквивалентности. Оно согласовано со сложением: если $x_1 \sim x_2$ и $y_1 \sim y_2$, то $x_1 + y_1 \sim x_2 + y_2$. Это дает возможность ввести сложение на множестве классов эквивалентности.
Но с умножением оно не согласовано: $3 \sim 0$, $\frac{1}{3} \sim \frac{1}{3}$, но $3 \cdot \frac{1}{3} = 1 \not \sim 0 = 0 \cdot \frac{1}{3}$.

[StaticZero]

Да, тоже беда. С другой стороны, абелевой группы по сложению достаточно, если мы хотим только инверсии и трансляции. Правда, тогда я совсем не понимаю, как распространять дальше на случай $\mathbb R^2$, где будут ещё и точечные группы с умножениями на косинусы поворотов...

[mihaild]

StaticZero в сообщении #1502319 писал(а):

Правда, тогда я совсем не понимаю, как распространять дальше на случай $\mathbb R^2$

Если поверить в аксиому выбора, то $\mathbb R^2$ и $\mathbb R$ изоморфны как группы по сложению.

[StaticZero]

mihaild, хочется рассматривать действие на $\mathbb R^2$ группы типа $\mathbb Z_n \times \mathbb Z_k$, где $\mathbb Z_n$ группа трансляций, а $\mathbb Z_k$ группа поворотов на углы $\theta_j = 2 \pi j/k$ в плоскости таких, что $\mathbf e_1 \rightarrow \cos \theta_j \mathbf e_1 - \sin \theta_j \mathbf e_2$ и здесь надо уметь умножать векторы на числа, сохраняя при этом возможность транслировать, так что отношение $\sim$ как выше уже не ввести.

-- 22.01.2021 в 20:27 --

Ну то есть проблема состоит в следующем: вот группа трансляций $\mathbb Z_n$, если добавить инверсию, то будет $\mathbb Z_n \times \mathbb Z_2$, а вопрос --- как новая группа действует на векторы пространства, если известно, как действуют сомножители. Ну и так далее.

[Xaositect]

Я все-таки не понимаю, почему у Вас группы трансляций конечные. Если взять трансляцию в евклидовом пространстве, то она порождает бесконечную группу.

-- Пт янв 22, 2021 18:35:00 --

И вообще, трансляции с поворотами обычно не коммутируют, так что зря Вы прямое произведение пишете, мне кажется.

[StaticZero]

Xaositect в сообщении #1502326 писал(а):

Если взять трансляцию в евклидовом пространстве, то она порождает бесконечную группу.

Мы это... в закольцованном пространстве транслируем. Вот правда оказалось, что закольцовывание не всегд работает, как хотелось бы, но это всё отсылки к циклическим граничным условиям и т. д.

Xaositect в сообщении #1502326 писал(а):

И вообще, трансляции с поворотами обычно не коммутируют, так что зря Вы прямое произведение пишете, мне кажется.

Скорее всего так. Сейчас увидел: прямо умножают на $C_2$ точечные группы. Здесь надо "добавлять" симметрию как-то иначе.

[StaticZero]

Xaositect в сообщении #1502258 писал(а):

Это не действие: у нас же $b + b + b = 0$, но $b \star (b \star (b \star x)) \neq 0 \star x$.

Ага! Я понял, что не так. Циклические граничные условия -- они у волновых функций системы, их на само пространство нельзя наложить так просто. Так что у нас группа трансляций действительно будет вся $\mathbb Z$, то есть члены группы $0, \pm b, \pm 2b, \ldots$ с действием $b \star x = x + 1$. Нам всё равно надо быть в курсе, как групповые элементы действуют на переменные (пространственные либо ещё какие-то).

Как мы накладываем такое условие $\psi(x - 3) = \psi(x)$? Предлагаю такое описание. Пусть $\sim$ отношение эквивалентности на аддитивной $\mathbb Z$ такое, что для $b, b' \in \mathbb Z$ $b' \sim b$ если $b' - b \in 3\mathbb Z$. Пусть $T$ --- группа линейных представлений $\mathbb Z \mapsto \mathrm{GL}(\mathbb R)$, на которой мы "индуцируем" отношение эквивалентности $\sim'$: $\hat T_b \sim' \hat T_{b'}$ если $b \sim b'$. Тогда трансляционные симметрии системы описываются группой $T/\!\sim'$ в том смысле, что мы определяем, что $[\hat H, \hat T_b] = 0$ для $\hat T_b \in T/\!\sim'$ (а не просто для $\hat T_b \in T$).

То есть закольцовывание происходит на уровне волновых функций системы, а не на уровне пространства. Ну и каша же у меня в голове, потрясающе просто.