Вывод формулы для синодического периода

[qx87]

Известная связь синодического периода $S$ внутренней планеты с сидерическим периодом $T_1$ и внешней с сидерическим периодом $T_2$ даётся формулой, вывод которой начинается с

${S \over T_2} = {S \over T_1} - 1$.

При этом на схемах обычно показывают, как внешняя планета сделала примерно пол-оборота, а внутренняя – полтора. Но ведь при близких значениях радиусов обе планеты могут сделать по несколько оборотов вокруг звезды, и тогда неочевидно, откуда берётся единица.

Однако я многократно запускал симуляции, и оказалось, что действительно внешняя планета всегда делает на один оборот меньше. Всё-таки не обманули

Но понятней от этого не стало. Я вывел формулу линейной скорости от радиуса (оказалось, что это просто первая космическая), сидерического периода от радиуса, но это всё не сильно приблизило к пониманию.

Народ, помогите со строгим доказательством или подскажите литературу, где оно есть.

[Pphantom]

Сделайте так: возьмите угловые скорости каждой из двух планет $\omega_1$ и $\omega_2$ и найдите промежуток времени между двумя последовательными совпадениями их эклиптической долготы. Последний по определению - синодический период, останется только выразить сидерические периоды из частот.

[Someone]

qx87 в сообщении #1500593 писал(а):

неочевидно, откуда берётся единица.

Объяснять очевидные вещи, как ни странно, очень трудно.

Представьте себе, что Вы катаетесь на карусели, которая имеет форму плоского диска, вращающегося вокруг своего центра. Вы сидите в кресле, которое находится на краю диска, а чуть ближе к центру проложена круговая дорожка, по которой не спеша шагает (в направлении вращения) другой катающийся. Он проходит мимо Вас, и в этот момент Вы начинаете следить, как он постепенно уходит вперёд, обходит окружность и снова подходит к Вам. На сколько оборотов больше Вас он сделал за это время?

Два бегуна стартуют на дорожке стадиона и бегут с разными скоростями (на большую дистанцию). Стандартная длина дорожки стадиона, если я правильно помню, равна 400м. Более быстрый бегун постепенно уходит вперёд и в конце-концов догоняет отставшего. На сколько метров больше пробежал к этому моменту более быстрый бегун?

[qx87]

Someone
Если представить, что они движутся по одному стадиону, и одна планета обгоняет вторую на круг, тогда сразу становится ясно, что "на круг" — значит на $2 \pi$, а не на $2\pi n$.
Спасибо большое!