Непрерывность в топологии и в евклидовом пространстве

[orventro]

Я хочу понять как доказать равносильность топологического определения непрерывности и определения непрерывности через $\varepsilon, \delta$ для евклидова пространства (хотя вроде и просто для метрического это тоже верно). Уже понял как доказать топологическое определение с помощью $\varepsilon, \delta$ в евклидовом пространстве, но никак не могу придумать доказательство в обратную сторону. На случай, если кому пригодится вот мое доказательство:

Доказательство от противного, допустим существует отображение $f$ являющееся $\varepsilon, \delta$-непрерывным, но отображающее множество $A$ с граничной точкой в открытое множество $B$. Сначала добавим к обоим множествам их границы, получая $A^*, B^*$(пока не определяя на них отображение). Посмотрим на последовательность $b$ на $B^*$, сходящуюся к его границе. Из-за $\varepsilon, \delta$-непрерывности прообраз $b$ - последовательность $a$, сходящаяся к какой-либо точке $A^*$. Опять же из-за $\varepsilon, \delta$-непрерывности $a$ должна сходится к границе, поскольку иначе предел $a$ должен быть отображен $f$ в точку на границе $B^*$, что противоречит условию. Теперь, когда ясно как отображать границу $A$, дополним $f$ до $\varepsilon, \delta$-непрерывного отображения $g : A^* \rightarrow B^*$. Теперь посмотрим на точку на границе, изначально бывшую в $A$. По условию она отображается в точку внутри $B$, но последовательность точек на границе $A$, сходящаяся к этой точке, отображается $g$ в последовательность точек на границе $B$, сходящейся к точке на границе $B$, из чего следует, что $B$ не является открытым, получаем противоречие.

Не прям строго, скорее идею тут расписал, вроде понятно. Надеюсь на помощь с доказательством в обратную сторону

[mihaild]

orventro в сообщении #1500215 писал(а):

допустим существует отображение $f$ являющееся $\varepsilon, \delta$-непрерывным, но отображающее множество $A$ с граничной точкой в открытое множество $B$

Для начала - где определено $f$? Судя по дальнейшему - просто на $A$. Но тогда это какое-то очень странное рассуждение, потому что граничность точки зависит от объемлющего пространства, а непрерывность - нет.

orventro в сообщении #1500215 писал(а):

Посмотрим на последовательность $b$ на $B^*$, сходящуюся к его границе. Из-за $\varepsilon, \delta$-непрерывности прообраз $b$ - последовательность $a$, сходящаяся к какой-либо точке $A^*$

Прообраз $b$ не обязан даже быть последовательностью ($f$ же может быть неинъективно).
Вообще вы, кажется, пытаетесь доказать, что любое непрерывное отображение непрерывно продолжается на границу. Это неправда - возьмите, например $\frac{1}{\sin x}$ из $(0, 1)$ - оно не продолжается непрерывным образом на $[0, 1]$.

Напишите "топологическое определение непрерывности", которым вы пользуетесь.

[orventro]

Цитата:

Для начала - где определено $f$? Судя по дальнейшему - просто на $A$. Но тогда это какое-то очень странное рассуждение, потому что граничность точки зависит от объемлющего пространства, а непрерывность - нет.

Да, на $A$, которое является подмножеством евклидова пространства, как и $B$.

Цитата:

Напишите "топологическое определение непрерывности", которым вы пользуетесь.

Отображение является непрерывным, если прообраз открытого множества - открытое множество.

Цитата:

Это неправда - возьмите, например $\frac{1}{\sin x}$ из $(0, 1)$ - оно не продолжается непрерывным образом на $[0, 1]$.

Возможно ошибаюсь, но мне кажется, что вы имели в виду $\sin(1/x)$, но в таком случае образ замкнут. Если все же взять $1/\sin(x)$, случай с бесконечным образом я не учел, получается $g$ мы не можем создать, сейчас я не уверен, как это исправить, но я все равно создавал пост что-бы узнать как доказать в другую сторону(надеюсь я не ошибаюсь в том, что это вообще верное утверждение).

[mihaild]

orventro в сообщении #1500478 писал(а):

Отображение является непрерывным, если прообраз открытого множества - открытое множество

И причем тут рассуждения с границей?

orventro в сообщении #1500478 писал(а):

Если все же взять $1/\sin(x)$, случай с бесконечным образом я не учел

Неограниченность образа неважна. У $\sin\left(\frac{1}{\sin x}\right)$ образ $(0, 1)$ ограничен, но непрерывно в $0$ оно всё равно не продолжается.

orventro в сообщении #1500478 писал(а):

но я все равно создавал пост что-бы узнать как доказать в другую сторону

А как в эту сторону доказывать вам неинтересно? Ваше рассуждение неверно, причем создается впечатление, что вы где-то путаетесь в определениях. ИМХО будет полезнее сначала разобраться с доказательством в одну сторону, потом уже в другую.

[Slav-27]

orventro в сообщении #1500215 писал(а):

Доказательство от противного, допустим существует отображение $f$ являющееся $\varepsilon, \delta$-непрерывным, но отображающее множество $A$ с граничной точкой в открытое множество $B$.

В этом нет ничего противного: непрерывность -- это когда прообраз любого открытого должен быть открыт, а вовсе не когда образ любого неоткрытого должен быть неоткрыт.